［摘 要］分形理論是現代非線性科學中的重要分支之一， 它的發展為經濟學研究提供了一種全新的工具。本文通過分形理論著重考察了GDP規模與股票市場的統計分布特征，以及其分形維數，認為GDP規模和股指的統計也具有分形的性質，其經驗分布為穩定的冪律分布。結果表明：GDP的擬合函數為Y=11.48X-1.30，滬市股指的擬合函數為Y=15.63X-1.28，兩者均嚴格符合Zipf分布；通過回歸分析，得到以滬市股指為因變量，GDP為自變量的方程：Y=113.825+0.11X。 ［關鍵詞］GDP 股指 分形 標度區 一、引言 股市是國民經濟的晴雨表，GDP是衡量國民經濟發展狀況的最重要指標，兩者可以反映一國經濟的運行狀況。分形理論是當今世界非常活躍的新理論、新學科，分形是分形幾何學的概念，最早是由B.B.Mandelbort 在1967 年首先提出。自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則，它表示分形在通常的幾何變換下具有不變性，即標度無關性，分形理論以分維作為定量特征和基本參數。分形理論的出現，解決了歐式幾何無法解決的事物的局部與整體的自相似性的現象，在自然和人文科學都有廣泛的運用。Batty 在1985 年開創了分形城市研究，他和Longley 研究了城市邊界和城市土地利用形態分形。Frankhauser 測算了世界上許多城市形態的分維，Batty、White 等在城市形態的分形模擬方面做了很多研究。 本研究應用數理模型——分形理論對1990年以來近二十年的國民經濟運行的發展進行評估，利用GDP與滬市股指的數據，首先通過嚴格的分形測度，利用雙對數曲線證明兩指標具有分形的特征，求出分維數和擬合函數方程。 二、數據與方法 1.數據處理 本文選取GDP和滬市股指作為研究對象，來代表研究時段中國宏觀經濟發展的基本狀態。數據來源于1990年以來的《中國經濟統計年鑒》。在獲取數據的過程中，對原始數據進行錄入、修正等預處理。在地理信息系統軟件（ArcGIS）支持下，對處理后的地形圖進行矢量化，提取兩指標的特征數據。相關數據處理主要借助Excel2007、SPSS等軟件完成。 2.數理模型 經濟現象的等級結構與規模分布原本是各自獨立的研究課題。現已證明，等級模式與規模分布法則一致或兼容 ，可謂是殊途同歸。為此，本文將經濟規模分布作為等級結構研究的重要內容。所謂宏觀經濟規模分布(city- size dist ribu t ion) 系指某區域(國家、地區等) 內城鎮經濟規模的層次分布。規模分布法則一直是理論界的難題，“很少有什么社會科學問題象經濟現象的位序—規模問題(rank- size problem ) 這樣， 引發了如此眾多的研究。”分形理論創生以后， 這類研究才取得實質性進展。實際上， 區域城鎮等級規模Zipf公式(與之等價的是Pareto分布)就是一個分形模型。設想一個區域，是一個復雜的經濟體。可以設定一個針對經濟總量的測度尺度r來度量(r用位序等表示)。顯然，改變尺度，區域經濟總量N (r)也會改變， 當r 由大變小時， N (r) 不斷增大，滿足關系式。 N ( r) ∝ r- D (1) 即區域經濟總量與測量尺度成負冪律分布時，可以認為經濟總量規模分布為分形。同理，股票市場的分形分布也可以成立。類比于Hausdorff 維數公式可知， 式中D為分維，它在一定時期內為常數。 式(1)正是規模分布的Pareto形式， 經變換可得Zipf 公式 P (k ) = P 1K – q (2) 式中K 為城鎮序號(K = 1，2……N ，N為系統中城鎮總數)；P (k ) 是序號為K 的城鎮的人口；P 1為理論上的經濟總量最大年的GDP(為系數)，q為Zipf 指數。 對(2)式兩邊取對數，則有: lnP (k ) = lnP 1 - qlnK (3) q也可以寫成D，其就是研究對象的分維數，D可以通過回歸方程(3)求得。 三、結論與討論 國民經濟系統作為一個開放的、復雜的巨系統，具有明顯的耗散結構特征，具有自相似、自組織和進化功能。這種自相似和自組織性是通過經濟規律自身的作用，形成自組織演變規律。探討GDP和股票市場作為分形結構的演化特征，從表2中的分維值的時空演變中，不難看出，不論是GDP個抑或股票指數，明顯具有分形結構特征。 GDP分形特征明顯。從表2中可以看到，模型的擬合優度R2 總體較高，相關系數較高。從整個市區用地來看，無標度區點列回歸的擬合優度GDP為0. 995 3，滬市股指為0.999，分維的標準誤差分別為0. 034 5和0. 015。作為參照，全部點列回歸結果的變化特征與無標度區點列完全一致。據有關學者研究 ，當維數D 的標準誤差低于臨界值δc = 0. 04，就可認為事物的分布是分形的，對城市地理系統而言是一個相當嚴格的要求。然而，本文兩指標全部符合這個標準，GDP的全部點列的分維標準誤差為0.035，就低于0.04的臨界值。 可見，中國股市的變動較大，其發展并不能很好的表現強勁的中國經濟的發展。但是GDP總量對股市具有明顯的影響。