摘要：本文采用理論數值模型嚴格模擬可壓縮庫水與拱壩、地基間的動力相互作用，提出了一種拱壩?可壓縮庫水?地基系統地震波動反應的時域顯式分析方法.針對位于Ⅸ度地震設防區、壩高292m的小灣高拱壩，用本文方法進行了地震動力反應分析，得到如下結論：考慮庫水可壓縮性將顯著降低對小灣拱壩抗震起關鍵控制作用的部位的動拉應力，降低幅值可達45？表明附加質量模型過分夸大了小灣拱壩的地震動應力反應，對小灣拱壩的抗震安全評估是不合理的.

關鍵詞：拱壩 可壓縮庫水 庫水地基相互作用 地震反應

1 研究現狀

Clough[1]基于有限元法開發了最早的拱壩地震反應分析程序——ADAP，其中將地基模擬為帶有固定邊界的無質量彈性體，沒有考慮庫水的影響.在ADAP程序的基礎上，Kuo[2]，Ghanaat和Clough[3]將庫水視為不可壓縮水體以附加質量的方式考慮了庫水動水壓力的影響，開發了計算程序EADAP.為了考慮庫水可壓縮性的影響，Fok和Chopra[4]在頻域內建立了拱壩—庫水—地基系統動力相互作用分析的三維有限元子結構模型，但其中地基為無質量彈性體，沒有考慮行波影響，以吸收系數表述的阻尼吸能邊界來近似模擬庫水—地基的動力相互作用，吸收系數根據庫底地質條件估算，由于無質量地基可以避免地基慣性引起的對入射地震動的放大效應，但不能合理代表壩體—地基的動力相互作用，表示庫水—地基動力相互作用的庫底吸收系數也是基于庫水和均勻半無限空間的波反射表達式而提出的近似關系，研究對象的實際幾何形狀以及庫區的地質、地貌特征使得該系數很難估計，實際上反射系數模型僅僅計入了地基的阻尼影響而未能考慮到地基慣性的影響，通常應用的一維模型的反射系數也不全面，理論上它會低估三維實際地基的輻射阻尼效應.此后，Tan和Chopra[5，6]改進了Fok和Chopro[4]模型，用邊界元離散地基，在壩體—基巖動力相互作用中考慮了基巖的慣性和阻尼，但仍保留了在壩體—地基交界面一致地震輸入的假定和庫底吸收邊界條件的假定.Dominguez和Maeso[7]在頻域內建立了拱壩—庫水—地基系統動力相互作用分析的三維邊界元模型，嚴格考慮了壩體—庫水動力相互作用、壩體—地基動力相互作用、庫水—地基動力相互作用，比較了嚴格的庫水—地基動力相互作用模型與Fok和Chopra庫底吸能邊界模型在簡諧輸入地震波作用下拱冠頂加速度的頻響函數，結果表明兩者間有顯著差異.Zhang、Jin和Pekau[8]也提出了拱壩—地基動力相互作用分析的有限元—邊界元—無限元模型，這一工作的創新點主要在于對阻抗函數簡化處理后的時域模型方面，庫水模型為附加質量.杜修力、陳厚群和侯順載[9]應用時域顯式有限元方法結合透射人工邊界，建立了拱壩—地基非線性地震波動反應分析模型和方法，Du xiuli、Zhang yanhong和Zhang baiyan[10]為消除透射人工邊界的高頻失穩，在這一拱壩—地基非線性地震波動反應分析模型中進一步引進了與介質應變成正比的阻尼.杜修力、涂勁、陳厚群[11]還將動接觸力模型與時域顯式有限元方法結合建立了有縫拱壩—地基非線性地震波動反應分析模型和方法.Du Xiuli等人的分析模型中考慮了壩基中節理、裂隙、斷層的非線性特性和介質非均勻特性，由于是在時域進行的物理過程的直觀模擬，因此，嚴格反映了地震波傳播過程的行波效應，但對庫水的影響仍是采用了不考慮庫水可壓縮性的附加質量模型.

由于庫底吸收邊界模型存在吸收系數難以確定的困難，而且吸收系數是用一維模型或人為經驗確定的，存在不準確和不確定性，其取值又對拱壩地震反應影響很大，因此，這種近似模型并未在實際中得到應用.不考慮庫水可壓縮性的附加質量模型由于其簡單和在一定程度上近似反映了一些實際情況在工程應用上得到了有條件的認可，但學術界仍有較大爭議.Dominguez和Maeso[7]在國際上首次采用了嚴格的理論模型來分析可壓縮庫水對拱壩在簡諧輸入地震波作用下的反應，但未與附加質量模型進行比較，更未就作為抗震設計控制指標的壩體應力進行分析.20世紀80年代和90年代，為從原型試驗中得到對這一問題的準確理解，中美兩國合作在響洪甸、泉水、Monticello、東江、龍羊峽等拱壩進行了一系列現場激振試驗，取得了有意義的重要進展，但遺憾的是并未獲得一種是否應該考慮庫水可壓縮性以及如何考慮的明確結論.這也表明庫水可壓縮性問題無論是從學術上或是從實際工程應用上都需要做進一步的深入研究.在用模型試驗和原型試驗驗證理論上近似的數值分析模型仍有一定困難的情況時，采用理論上嚴格的數值分析模型與之比較應不失為一種選擇途徑.

本文考慮庫水可壓縮性，提出了拱壩—可壓縮庫水—復雜地基地震波動反應時域顯式分析方法，并以小灣拱壩為例進行了實例分析并與附加質量模型方法進行了比較.

2 拱壩—庫水—地基系統非線性地震反應分析方法

2.1 顯式有限元內點公式

2.1.1壩體和地基區域 考慮到壩體和地基都有一定的阻尼，且網格尺寸差別較大，這時壩體—地基系統有限元離散模型中的阻尼比變化范圍很大.因受穩定的影響，Du xiuli、Zhang yanhong和Zhang baiyan[10]應用的顯式有限元內點計算格式雖簡單但穩定性要求高，杜修力、王進廷[12]提出的計算格式雖然每一步的計算工作量稍大，但穩定性好.特別是前者對于無介質阻尼的情況是無條件失穩的，計算穩定性要求的較大介質阻尼又與輸入地震波時假定的彈性半空間地基有矛盾，從而對水平基巖面的設防地震動標準產生影響(取不同深度的底部人工邊界在理論上就得不到一個確定的設防標準值).事實上，相對于地基輻射阻尼而言介質阻尼的影響是可以忽略的，因此，不從分析模型的角度考慮地基介質材料阻尼而僅就控制人工邊界數值失穩的角度引入極小的與介質應變成正比的阻尼是合理的，另一種解決途徑是對地基人工邊界計算區不考慮介質阻尼.

這里對拱壩和地基區域采用杜修力、王進廷[12]提出的顯式有限元計算格式：

2.1.2庫水區域 庫水的粘性系數很小，一般都假定為理想流體，但為了消除多次透射人工邊界高頻失穩問題，需要引入很小的與剛度成正比的阻尼.由于這時的阻尼非常小，從計算量和穩定性兩方面考慮，王進廷、杜修力[13]提出了一種對零阻尼和小阻尼非常有效的計算格式，其位移和速度計算公式表述如下：

2.1.3庫水與壩體、庫水與地基交界面的邊界條件 (1)庫水與壩體、地基交界面法向位移連續；(2)庫水與壩體、地基交界面切向剪力為零；(3)庫水與壩體、地基交界面法向力平衡.

用下標1表示與壩體和地基相關的變量，下標2表示與庫水相關的變量；用正交坐標系的z方向表示交界面法向方向，x、y方向表示切向方向，交界面結點l的位移、速度的表達式為(詳細推導過程可見參考文獻[13])

2.2人工邊界 由于多次透射人工邊界對平行于人工邊界的波傳播是無效的，因此，要求由其計算的波是向外射向人工邊界，一般通過總場減去自由場的方式可以獲得這種散射波場.但拱壩—庫水—地基系統中，難以確定庫水上游端自由場，也就不能確定要求的散射波場.多次透射人工邊界的修正公式的優點是可以反映平行人工邊界的波傳播，若將總場分解為入射場和外行場后，垂直入射地震動作用時在庫水上游邊界無射向人工邊界的波場，此時在射向庫水上游邊界的外行波場中雖有平行于人工邊界傳播的波，但用廖振鵬和李小軍[15]提出的多次人工透射邊界的修正公式可以實現完全模擬，因此，在這里采用多次透射人工邊界修正公式.

2.3地震動輸入 本文仍采用杜修力、陳厚群和侯順載[11]使用的波場分解方法，在人工邊界區將總場分解為入射波場和外行波場，用多次透射人工邊界的修正公式計算外行波場，這也使計算工作相對于自由場和散射場的分解方式要簡便得多.

3 考慮庫水可壓縮性的小灣拱壩地震反應分析

擬建中的小灣水電站，位于云南省鳳慶縣和南澗縣交界處，在瀾滄江與左岸支流黑惠江匯合口至以下3.85 km的河段上.小灣水電站總庫容145億m3，總裝機容量4200MW，主要用于發電、防洪和灌溉，是8級開發瀾滄江中下游河段的兩個核心電站之一.壩址河谷相對較寬，呈V型，壩頂處河谷寬720m，兩岸山坡平均坡度分別為40°～42°，壩址區基巖主要由黑花崗片麻巖，角閃斜長片麻巖組成.拱壩壩高292m，為拋物線變厚度雙曲拱壩，大壩上游正常蓄水位1240m，常遇低水位1181m，滿庫時基本自振周期接近于1s.小灣電站周圍地質條件比較復雜，歷史地震發生頻繁，經中國地震局烈度評定委員會審查，確定工程區基本烈度為Ⅷ度.小灣拱壩的設計烈度為Ⅸ度.

3.1計算基本資料 壩體幾何尺寸和壩體及地基基本材料特性，采用昆明勘測設計院提供的技術資料.壩底高程953m，壩頂高程1245m，最大壩高292m，壩頂弧長935m，壩頂厚12m，壩底厚73m.混凝土動態彈性模量Ed=27.3GPa，密度ρd=2400N/m3，泊松比νd=0.189.基巖根據實際情況細分為21種材料(表1)，取瑞利阻尼假定，為方便與Du xiuli、Zhang yanhong和Zhang baiyan[10]的結果的比較，確定瑞利阻尼系數的兩階阻尼比仍取為0.05(分別對應于f1=1.0Hz和f2=15.0Hz).

表1 地基材料參數

對于Ⅸ度設防的小灣拱壩，國家有關部門審核確定水平向設計地震動峰值加速度為0.308g，豎向設計地震動峰值加速度取水平向的2/3，即0.205g.本文采用以設計反應譜為目標譜生成的人工地震波作為輸入地震波，考慮到從彈性半空間水平基巖面的地震動反演為無窮遠垂直輸入地震波的問題，將其時程曲線乘以05以后如圖1所示.

(a)橫河向

(b)順河向

(c)垂直向

圖1 小灣人工合成地震波

3.2有限元模型 本文計算中，小灣壩體和基巖部分有限元網格采用Du Xiuli等[10]文中給出的剖分網格，該網格以三維8結點單元以及6結點退化單元對壩體和地基進行有限元離散，共劃分20107個單元，22878個結點，壩體—地基系統的網格剖分示意圖如圖2所示.庫水部分單元由作者根據壩體—基巖系統單元剖分情況剖分而成，高水位時共有971個單元，1201個結點，其中包括庫水與壩體—基巖系統交界面結點334個；低水位時共有583個單元，756個結點，其中包括庫水與壩體—基巖系統交界面結點249個.

圖2 小灣拱壩—地基系統網格剖分示意

3.3計算工況 計算中分不可壓縮庫水的附加質量模型和可壓縮庫水模型兩種情況，考慮了無庫水的空庫和有庫水時的高水位和低水位3種工況.正常蓄水位1240m(庫水深度287m)即高水位，低水位即為常遇低水位1181m(庫水深度228m).

3.4 三向輸入地震動時小灣拱壩的地震反應 同時輸入圖1所示的橫河向、順河向和垂直向3個方向的小灣拱壩場址人工合成的地震動加速度對小灣拱壩模型進行計算，得到上游面主要位置位移、加速度和應力反應最大值和最小值，見表2～表5.圖3～圖5為壩頂上游面拱冠處位移、加速度和應力時程曲線.由表2可見，高水位時附加質量模型計算出的拱壩各點的最大位移的絕對值反應幾乎都較可壓縮庫水模型計算出的相應值大，特別是拱冠梁的順河向位移反應；低水位時也有同樣趨勢，只是在拱冠梁處不如高水位明顯.考察表3可以看到加速度絕對值與前面的位移反應有幾乎相同的結果，只是兩者相差更小，低水位時拱冠梁順河向加速度反應則略有不同.

表2 主要位置位移絕對值的最大值(單位：m)

表3 主要位置加速度絕對值的最大值(單位：m/s2)

觀察上游面主要位置的最大應力表(表4)和最小應力表(表5)可以發現，附加質量模型計算得到的橫河向和垂直向最大應力值大于可壓縮庫水模型計算得到的最大值，最小值小于可壓縮庫水計算模型計算得到的最小值；而順河向結果除低水位時拱冠頂外正好與此相反，可壓縮庫水模型計算得到的最大應力值大于附加質量模型計算得到的最大值，最小應力值小于附加質量模型計算得到的最小值.對于應力反應較大的拱冠中、上部分，可壓縮庫水模型求得的拱向、梁向應力均顯著低于附加質量模型求得的拱向、梁向應力，高水位時拱冠頂拱向拉應力較低水位時拱冠頂拱向拉應力降低更多，可達20%以上，特別是對于拱壩抗震起控制作用的拱冠梁中、上部梁向拉應力，庫水可壓縮效應可使其降低達45%.由于混凝土抗拉強度遠遠低于抗壓強度，按照經驗，對拱壩抗震安全設計起控制作用的通常是拱冠梁上部1/3附近處的梁向拉應力，而拱冠中、上部的拱向拉應力實際上由于橫縫的存在而不會如表中所示.當考慮到這一因素時，中、上部的梁向拉應力對兩種計算模型都會有所增加，我們將在今后的研究中進一步研究這一問題.

表4 主要位置應力最大值(單位：MPa)

表5 主要位置應力最小值(單位：MPa)

圖3 壩頂上游面拱冠位移時程曲線(順河向)

圖4 壩頂上游面拱冠加速度時程曲線(順河向)

圖5 壩頂上游面拱冠應力時程曲線(垂直向)

4 結論

本文考慮了庫水的可壓縮性，對小灣拱壩—庫水—地基系統的地震反應進行了初步分析針對小灣拱壩的計算結果表明：考慮庫水可壓縮性后，將十分明顯地降低對拱壩抗震安全性起控制作用的部位的應力反應.具體講是使中、上部位拱冠梁的梁向拉應力降低達45%左右，拱冠頂拱向拉應力降低達20%以上，這對于評估拱壩抗震安全是有利的，也說明附加質量模型是不合理的，過于夸大了拱壩抗震關鍵部位的應力反應.以往的眾多研究表明地基能量幅射的影響，使得上部拱向拉應力降低達40%左右，梁向拉應力變化不大，本文的研究顯示庫水可壓縮性的影響與地基能量輻射的影響同樣重要.由于本文結論是針對小灣拱壩進行分析得到的，作為一般性結論尚有局限性.

參 考 文 獻：

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