通信信號自適應濾波處理仿真研究（二）

丁杰

圖(2.1.5.4)( =0.001)

圖(2.1.5.5)( =0.005)

觀察兩個不同步長情況下的誤差曲線不難看出，步長越小，誤差越小，但收斂速度越慢，為了好的精度，我們在選擇時必然犧牲收斂速度。

以上就是圍繞對LMS算法的分析，著重討論了算法的實現及算法中重要參數的選擇問題。在實際中，噪聲功率大小的也會對系統的收斂程度產生影響，噪聲功率越大，即信噪比SNR越小，誤差曲線就會明顯增加，這就是更大噪聲功率對算法中隨機梯度的影響，可以通過下面兩個仿真圖看出。分別取信噪比SNR=5和SNR=20。 =0.001

圖(2.1.5.6)(SNR=5)

圖(2.1.5.7)(SNR=20)

2.2 遞推最小二乘(RLS)算法

2.2.1 最小二乘法

設已知n個數據，…，，…，，利用圖3.1所示的濾波器結構來估計期望信號，…，，…，。對的估計可表示成式(2.2.1.1)

估計誤差 - 式(2.2.1.2)

根據最小二乘法， (n)的最佳值應該使下列累計平方誤差性能函數為最小式(2.2.1.3) ，其中0< <1，稱為遺忘因子。使用前加窗法，只用的前個誤差，則式(2.2.1.4)

前加窗法最小二乘性能函數為式(2.2.1.5)

其中。引入m維矢量：式(2.2.1.6)，而維矩陣：式(2.2.1.7)

式(2.2.1.8)

的最佳值滿足方程式(2.2.1.9)

從而有式(2.2.1.10)

最終得到最小二乘算法的最后方程式(2.2.1.11)

2.2.2 遞推最小二乘(RLS)算法

由于最小二乘法的運算量較大，一般不適合實時濾波，采用遞推算法可以減少運算量。

由式(2.2.1.11)有式(2.2.2.1)

根據式2.2.1.7得式(2.2.2.2)

對矩陣求逆得式(2.2.2.3)

其中為一純量。矩陣式(2.2.2.4)

N維矢量，為增益系數式(2.2.2.5)

由式2.2.2.4和式2.2.2.5逆推式2.2.2.3可得

式(2.2.2.6)

利用式2.2.2.6，就可以用遞推的方式求m m維矩陣的逆，使運算量降低。

式2.2.2.6兩端乘以，利用式2.2.2.5可得

式(2.2.2.7)

另外，根據式2.2.1.6可得式(2.2.2.8)

將式2.2.2.4，式2.2.2.6，式2.2.2.8代入式2.2.1.11就可以得到

式(2.2.2.9)

利用式2.2.2.5和式2.2.2.9的最后兩項可簡化為，而式2.2.2.9的前兩項中的即為。所以由式2.2.2.9可得

式(2.2.2.10)

這即為遞推最小二乘(RLS)算法的遞推公式。

下圖為RLS算法的流程圖：

2.2.3 RLS算法的參數分析

RLS算法具體實現需要以下計算式；；

在RLS算法中遺忘因子是一個接近1但是小于1的正數，一般來說介于0.95到1之間。使用遺忘因子的目的在于把接近目前時間點的信息乘上越大的權值，而離目前時間點越遠的信息乘上越小的權值，也就是說，我們重視較近時間點的信息甚與較遠時間點的信息。若等于1，則表示對所有的信息都一樣，其權值都是相同的。

2.2.4 RLS算法Matlab仿真分析

圖2.2.4.1

上圖分別為輸入信號，輸出信號和誤差信號的曲線，可以看出輸出信號在經過一段時間的自適應調整后，便能基本達到跟蹤，濾波的效果。從誤差信號曲線也可以看出這點，誤差輸出經過一段時間就趨于穩定。

圖2.2.4.2

上圖為誤差平方的均值曲線，大約在t=300時，誤差趨于收斂，系統完成自適應過程。

以上就是圍繞對RLS算法的分析，著重討論了RLS算法推導，具體實現的相關公式以及運用matlab軟件對其進行仿真。

2.2.5 RLS算法與LMS算法的比較分析

RLS算法能夠在很短的時間內就趨于收斂，而LMS算法則有一個比較長的漸變過程，所以RLS的跟蹤性能要優于LMS，這可以從圖2.1.5.1和圖2.2.4.1看出。換句話說，RLS比LMS的收斂速度要快。可以通過下圖看出：

上圖藍色是LMS收斂曲線，紅色為RLS收斂曲線?？梢钥闯雒黠@RLS收斂性要優于LMS算法。

而且LMS在收斂后波形還有較大波動，而RLS就要小的多，基本沒有波動，這說明RLS的穩態誤差也是小于LMS的，從圖2.1.5.3和圖2.2.4.2可以看出。但是由于LMS計算量簡單，適合于硬件實現，這是RLS無法相比的。所以二者各有優劣。(以上LMS和RLS算法仿真均采用相同的外界信號及采樣時間點)

2.3 歸一化LMS算法(NLMS)

2.3.1 NLMS算法實現

NLMS算法是將LMS算法中的值重新定義，讓值會隨輸入信號之正規化作改變，能提升收斂的穩定性。下面為NLMS算法實現所需的計算式：

各參數的定義和LMS算法定義相同，新增參數的定義為：很小的正常數，一般取 =1e-10。

LMS算法的穩定度和收斂速率受到值和參考信號的影響，由于值為一固定值，因此LMS的整體收斂速率就受它的影響，收斂速率對變化較快的信號反應并不理想。而NLMS算法能改善輸入信號對收斂因子的影響，值隨著時間n變化成為 (n)，使之隨時變化，從而調節至最佳值。另外為了避免當輸入信號過小時造成收斂因子的發散，還加入值。

下圖為NLMS算法的流程圖： SHAPE \* MERGEFORMAT

2.3.2 NLMS算法的Matlab仿真分析

圖(2.3.2.1)

圖(2.3.2.2)

由圖2.3.2.1和圖2.3.2.2可以看出NLMS算法的自適應濾波過程及誤差收斂情況，而且相比LMS算法在相同條件下，NLMS算法要比LMS算法收斂更快一些。這是因為NLMS算法的計算量與LMS相當，但是由于NLMS算法的收斂條件與輸入信號的特征值無關，故NLMS算法比LMS算法的收斂速率快。

下圖可以看出二者收斂的差別：

圖4.2.3 LMS的誤差收斂

圖4.2.4 NLMS的誤差收斂

LMS算法中大約在t=600時開始收斂，而NLMS則是在大約t=400時開始收斂。明顯NLMS的收斂速度要快與LMS。

3自適應信號處理的應用及Matlab仿真

3.1 通信中的自適應噪聲抵消

在通信和其他許多信號處理應用問題中，接受信號中往往伴隨著干擾和噪聲，從而顯著影響接受信號的可靠性，或者導致誤碼率上升。一般來說，干擾和噪聲的存在總是難免的。信號處理技術的核心問題之一就是從受到干擾污染的信號中估計，檢測或者恢復出原始信號。而自適應噪聲抵消的基本原理就是將被噪聲污染的信號與參考信號進行抵消運算，從而消除帶噪信號中的噪聲。其關鍵問題是自適應噪聲抵消系統的參考信號一定要與待消除的噪聲具有一定的相關性，而與要檢測或者提取的信號不相關。自適應噪聲抵消系統經過自適應系統的控制和調整，系統能夠有效地從噪聲中恢復出原始信號。

作為自適應信號處理領域的重要分支之一，它已經受到了人們的普遍關注并得到了廣泛的應用。

下圖為典型自適應噪聲抵消系統的原理框圖：

圖3.1.1 自適應噪聲抵消系統

在圖3.1.1中，原始輸入信號d(n)為有用信號s(n)與噪聲v(n)之和，參考輸入信號x(n)是與v(n)相關的噪聲u(n)。假定s(n)，v(n)，u(n)均為零均值平穩隨機過程，且滿足s(n)與v(n)及u(n)互不相關。由圖3.1.1可見，自適應濾波器的輸出為噪聲u(n)的濾波信號。則整個自適應噪聲抵消系統的輸出y(n)為

式(3.1.1.1)

而式(3.1.1.2)

對式(3.1.1.2)兩邊取期望，由于s(n)與v(n)及u(n)互不相關，且s(n)與也不相關，故有

式(3.1.1.3)

信號功率與自適應濾波器的調節無關，因此，調節自適應濾波器使最小，等價于使最小。這樣由式(3.1.1.1)，有式(3.1.1.4)

由此可見，當最小時，也達到最小，即自適應噪聲抵消系統的輸出信號y(n)與有用信號s(n)的均方誤差最小。

在理想情況下，當時，有。這時，自適應濾波器自動地調節其權值，將u(n)加工成v(n)，與原始輸入信號d(n)中的v(n)相減，使輸出信號y(n)的噪聲完全被抵消，而只保留有用信號s(n)。但是自適應濾波器能夠完成上述任務的必要條件為：參考輸入信號必須與被抵消的噪聲v(n)相關。

3.1.2 自適應噪聲抵消系統Matlab仿真

以下仿真采用圖3.1.1的結構，分別運用LMS，NLMS和RLS循環算法進行噪聲消除。

圖3.1.2

仿真得出三種自適應濾波算法提取正弦信號的曲線圖。可以看出系統能基本還原出原始信號，達到噪聲抵消的效果。但是用RLS算法提取的正弦信號質量要好，其中LMS算法提取的信號效果最差，存在沒有濾除的隨機噪聲部分較多，而NLMS算法要比LMS的效果要好，但比起RLS算法在估計精度上有些波動，存在一定的殘余誤差，即有一定失調。

3.2 自適應陷波濾波器

在通信系統和其他電子系統中，經常會受到諸如50Hz工作頻率等單頻干擾或者窄帶干擾的影響。這種干擾的存在，嚴重影響了信號的接收或者檢測的可靠性和正確性，因此必須加以消除。陷波濾波器是消除這種干擾的有力工具，當自適應噪聲抵消系統的參考輸入為單一頻率正弦信號時，則系統可以構成自適應陷波濾波器。

3.2.1 自適應陷波濾波器的原理

自適應陷波濾波器具有陷波中心頻率，且該頻率與其參考輸入的正弦信號的頻率相同。另一方面，自適應陷波濾波器還能夠隨著干擾頻率的變化，自動地修正系統自身參數來跟蹤這種變化。典型的單一頻率自適應陷波濾波器的原理圖如圖(3.2.1)所示，圖(3.2.1)表示一個具有兩個自適應實權的自適應噪聲對消器。它等效于有一個復權的噪聲對消系統，即用兩個實權達到同時調整單一頻率正弦波的幅度和相位，以消除干擾的目的。假定原始輸入信號的類型是任意的，而參考輸入是頻率為f的純正弦波，即

式(3.2.1.1)

圖中第一個權的輸入直接由參考輸入采樣得到，而第二權的輸入是將第一個權輸入移相產生。即它們可分別表示為

式(3.2.1.2)

SHAPE \* MERGEFORMAT

圖(3.2.1)

其中，權的迭代用LMS算法，如下式所示，權的修正過程如下：

式(3.2.1.3)

3.2.2 自適應陷波濾波器Matlab仿真分析

圖6.3.2

上圖可以看出經過正弦信號干擾的原始信號，在通過自適應陷波濾波器后，基本達到噪聲消除的效果。上圖中第一個圖為原始信號，第二個為經過正弦信號干擾后的信號，第三個為消噪后的信號，第四個為誤差信號曲線。

3.3 自適應預測

3.3.1 自適應預測的基本思想

要得到預測系數，必須獲得輸入信號采樣值的相關函數矩陣，而實際上它不是一個定值，是時變的，所以就要求必須自適應調整預測系數，以保持最佳的預測增益。求相關函數的簡單方法是，先采樣并存儲一個定長時間間隔的信號值，計算這些采樣值的自相關函數，然后確定最佳的預測系數。預測器每隔規定的時間間隔更新依次存儲的采樣數據，并且每次將計算的預測參數發送到接收端。通過上述方法動態調整預測參數，在存儲采樣值時間間隔較長或每次存貯采樣值個數較大的情況下，可以獲得很大的預測增益。這就是自適應預測器的基本思想。忽略量化噪聲的影響，預測誤差函數

式(3.3.1.1)

需要說明，考慮到實際系統的可實現性，可以用誤差函數的量化值。調整預測系數使誤差函數向負梯度的方向變化，即

式(3.3.1.2)

式中，sgn[]是符號函數，是預測系數自適應速率，需要根據實驗確定其最佳值。也可以考慮用平方差值函數確定預測系數，即

式(3.3.1.3)

自適應預測器的實現比較復雜，但是，當信號采樣值相關距離大或信號統計特性的平穩性不佳，無法獲得確切和恒定的相關系數的情況下，自適應預測是較理想的預測方法。

在許多情況下，一個寬帶信號既受到周期性干擾的污染，又沒有無信號的外部參考輸入可以利用。此時，可以直接從原始輸入引出，接入一具有固定延遲的延遲線，則可得到類似的參考輸入支路。這種結構實際上是一個自適應預測器。

下圖仿真采用的是線性預測濾波方法抑制窄帶干擾的算法。

3.3.2 自適應預測的Matlab仿真

圖3.3.2

由上圖可以看出預測信號在經過一段自適應過程后能夠很好的跟蹤接收信號，達到預測效果。

3.4 自適應均衡

3.4.1 自適應均衡的基本原理

自適應均衡器的工作過程包含兩個階段，一是訓練過程，二是跟蹤過程。在訓練過程中，發送端向接收機發射一組已知的固定長度訓練序列，接收機根據訓練序列設定濾波器參數，使檢測誤碼率最小。典型的訓練序列是偽隨機二進制信號或一個固定的波形信號序列，緊跟在訓練序列后面的是用戶消息碼元序列。接收機的自適應均衡器采用遞歸算法估計信道特性，調整濾波器參數，補償信道特性失真，訓練序列的選擇應滿足接收機均衡器在最惡劣的信道條件下也能實現濾波器參數調整，所以，訓練序列結束后，均衡器參數基本接近最佳值，以保證用戶數據的接收，均衡器的訓練過程成功了，稱為均衡器的收斂。在接收用戶消息數據時，均衡器還需要不斷跟蹤信道特性的變化并隨信道特性的變化連續地改變均衡器參數。

3.4.2 自適應均衡器的實現

下面討論自適應均衡器的具體實現。我們知道信道均衡器均衡器的作用是在信道通帶內形成一個信道傳輸函數的逆，而在通帶之外它的增益則很小或者為零。因而，由信道和均衡器級聯組成的系統在通帶內有基本均勻的振幅特性，而帶外基本為零，相位響應在帶內是頻率的線性函數。如果條件滿足，聯合沖激響應就是辛格函數，符號間干擾可以消除。自適應調整也解決了信道本身未知，時變的特性所帶來的困難。下圖3.4.2為自適應均衡器的基本結構。

SHAPE \* MERGEFORMAT

圖3.4.2

逆模擬用一個自適應橫向濾波器(LMS濾波器)，由于輸入x(k)的信號帶寬受信道帶寬的限制，因而，自適應濾波器僅需在信道的通帶內去均衡信道的振幅和相位特性。如果能知道信道的輸入，并考慮到整個系統的延遲，就可得到期望響應d(k)，但是一般是難于獲得的。周期性地中斷信息傳輸，發射一些已知的碼序列，便可以進行自適應調整。

貝爾電話實驗室的拉克提供了一種得到期望響應d(k)的方法，這種方法用自適應濾波器自身輸出提供d(k)，因此避免了對發射信號任何先驗信息的依賴，拉克稱該方法為“判決指向學習”。更確切地說，期望信號d(k)=sgn y(k)，如圖3.4.2所示，它是由一個量化濾波器產生的。由于數據是二進制的，若不考慮噪聲影響，則經適當均衡了的信道在選通時間內的取樣輸出為+1或-1，然后將濾波器輸出和經量化后的輸出比較，產生誤差信號e(k)。由于均衡器輸出應該在適當的選通時間內唯一地表示各自的辛格脈沖，因而自適應只許在選通時間內進行，這可用與發射信號同步的閘門脈沖對誤差信號e(k)選通來實現。從平均意義上來說，如果量化后的期望響應是正確的，則自適應將沿著正確的方向進行。

3.4.3 自適應均衡器的Matlab仿真

下面將采用上述的實現方法進行matlab仿真，可以看出自適應均衡器對消除信道的干擾的作用。

圖3.4.3.1

下圖是對自適應均衡器在不同信噪比下誤碼率的仿真，能進一步說明自適應均衡器的作用。采用50萬點仿真誤碼率：

圖3.4.3.2

上圖中虛線部分是沒有經過均衡器的誤碼率曲線，實線部分是經過自適應均衡后誤碼率曲線，可以看出信號在經過自適應均衡后，誤碼率在逐漸下降，減少了接收信號的誤碼數，說明自適應均衡器能補償信道特性的損失，從而提高了信道的穩定性。仿真也有不足之處，即曲線不夠平滑。主要是由于仿真采用的是蒙特卡洛仿真，一般要求仿真點數達到幾百萬點。這里由于計算機運行速度慢，只采用了50萬點。

本章介紹了自適應信號處理的相關應用，隨著信號處理學科領域理論與技術的不斷進步，自適應信號處理已成為信號與信息處理學科一個新的重要學科分支，相信它在諸如通信、雷達、聲納、工業控制、地震勘探及生物醫學工程等領域會獲得越來越廣泛的應用。

結束語

根據自適應處理系統的濾波器部分和調整濾波器系統的自適應算法部分，本文分別對其進行了闡述，并舉例說明了自適應處理系統的一些應用。

本文完成的工作主要分為：

(1)在學習和總結前人工作的基礎上，對LMS，RLS，NLMS，以及格型算法進行了詳細的說明和推導，分析了LMS與RLS算法，LMS與NLMS算法在各自特點和性能上的差異。提出了自適應LMS算法在噪聲抵消，自適應預測和自適應均衡上應用，分析了這些應用的具體實現及相關收斂，穩態特性和參數說明。

(2)通過對各種自適應算法進行總結，對比和驗證，利用matlab語言對算法進行仿真，比較相關收斂特性，穩態特性和相關參數取值，得出各自算法的優劣性。

(3)利用matlab對LMS算法在自適應處理系統上的應用分別作了仿真，驗證系統的可行性。

參考文獻

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