摘 要：隨著社會的發展，微分學與經濟學的聯系越來越多，本文介紹了導數在邊際分析和需求彈性分析中的應用及Logistic模型在微觀經濟理論中的應用。 關鍵詞：導數；邊際分析；需求彈性；Logistic模型 隨著科技與經濟的發展，社會的不斷進步，數學這門學科與各行各業的聯系越來越密切。作為高等數學基礎內容之一的微分學，它在經濟領域中的應用日益廣泛，也是經濟工作者和決策者進行實踐和研究的重要工具之一。在這里從導數的概念出發介紹了邊際分析和需求彈性分析，然后介紹了Logistic模型在微觀經濟應用。 1導數的概念在微觀經濟學中的應用 導數的概念反映了因變量隨自變量變化的快慢，把導數這一概念放到經濟學中，就是邊際函數的概念，在經濟學中涉及到邊際成本，邊際效益，邊際利潤等。y=f（x）在x=x0處可導，該點的導數定義為，當△x=1時，即x0改變了一個單位，且△x=1相對與x0是一個很小的量時，近似得到f（x0+1）≈f（x0）+f ‘（x0），可以看到邊際函數反映了一個經濟變量變化一個單位后會引起另一個經濟變量變化f ‘（x0）個單位。例如，已知總收益函數為R（Q），Q表示銷售量，邊際收益MR=R‘（Q），在Q=Q0時，MR|Q=Q0=R‘（Q0）表示當銷售量為Q0 時，再銷售一個單位的商品總收益會改變R‘（Q0）個單位。 函數y=f（x）在x=x0處可導，函數值的相對該變量與自變量的相對該變量之比 ，稱為f（x）從x0到x0+△x兩點間的平均相對變化率，也稱為兩點間的弧彈性，當△x→0時， 的極限稱為f（x）在x=x0處的相對變化率，也稱為x=x0的點彈性，記為 。因為y=f（x）在x=x0處可導，且f ‘（x0）≠0，有 當自變量變化1%時，因變量近似地變化了，從中可以看到，彈性反映一個變量隨另一個變量變化的靈敏程度，它是微觀經濟學中一個重要的概念。 作為生產者在進行生產時他會考慮商品價格對消費者需求量的影響程度來判斷當價格上漲或下跌時，總收益會增加還是減少來安排下一步的生產。例如商品的需求函數Q=Q（P），P為價格，Q表示消費者的需求量，因為Q=Q（P）是隨價格P的單調遞減函數，所以Q‘（P）0，習慣上需求價格彈性非負，因此定義需求價格彈性為，在這種情況下總收益R（P）=P·Q（P）隨價格如何變化。 當價格為P0時，若η|p=p01（低彈性），從上面兩式中可以看出R ‘（P0）0，價格上漲（下跌）1%時總收益也會隨之增加（減少）（1-η|p=p0）%；若η|p=p01（高彈性），則R ‘（P0）0，價格上漲（下跌）1%時總收益也會隨之減少（增加）（η|p=p0-1）%；若η|p=p0=1（單位彈性），則R ‘（P0）=0，價格上漲（下跌）時總收益保持不變。 2Logistic模型在經濟上的應用 微分方程在經濟理論研究上經常用到，在這里只討論Logistic方程在經濟上的應用。Logistic方程描述了一種阻滯增長模型，是荷蘭生物數學家Verhulst于19世紀中葉提出的。 方程右端的因子rx體現了變量x隨時間t增長的增長趨勢，而因子 體現其他因素會對x增長的阻滯作用，顯然x越大，前一個因子越大，后一個因子越小，而x的增長是兩個因子共同作用的因子。用分離變量法求解得到 。 Logistic模型不僅能夠大體上描述人口及物種數量的變化規律，而且在社會經濟領域也有廣泛的應用，例如信息的傳播、耐用消費品的銷量、新產品的推廣等。比如某種品牌的生活耐用品，t時刻總銷售量為Q（t），由于該商品的性能很好，每件商品都是一個宣傳品，所以t 時刻銷售量的增長率與總銷售量Q（t） 成正比，另外考慮到商品在市場中的容量N限制，銷量的增長與尚未購買該商品的潛在購買量N-Q（t）也成正比，于是有 解之得 圖1商品銷售的Logistic曲線 從圖1中可以看出，當Q（t）在微觀經濟學的研究中以及一些定量分析中應用到微分學的地方還有很多，它為經濟研究工作者和決策者的具體工作提供了一定的指導，對促進社會進步和經濟發展都起到了很多的推動作用。

： [1] 龔德恩，范培華.微積分[M].北京：高等教育出版社，2008. 姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2004. 高鴻業.西方經濟學（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006. 楊光，李傳志.微分在西方經濟學教學中的應用[J].東莞理工學院學報，2007，14（2）:40-42. 譚瑞林，劉月芬.微積分在經濟分析中的應用淺析[J].商場現代化，2008（總第529期）. 本文受鄭州大學西亞斯國際學院“微積分”精品課程建設資助。