【摘要】 對數求導法是高等數學中求函數導數的一種重要的方法，其整體思路是當函數式較復雜（含乘、除、乘方、開方、指數函數、冪指函數等）時，可先在方程兩邊取對數，然后利用隱函數的求導方法求出導數。大多數教科書對方程兩邊同時取對數是否超越對數函數定義域允許范圍都沒作討論，而這也是很多學生對對數求導法是否具備合理性與可行性質疑的焦點。就此問題展開討論，驗證了對數求導法的合理性與可行性。

【關鍵詞】 冪指函數 對數求導法 顯函數 隱函數

1 引言 高等數學中求函數導數中一種重要方法就是對數求導法，它適用對象主要是連乘除、指數函數、冪函數。方法是，若求函數f(x)的導數，先取其對數，再對取過對數的函數求導，得到［lnf(x)］′=f′(x)f(x)，于是得到結果： f′(x)=f(x)［lnf(x)］′ 注意到，上面這個取對數的過程可能會遇見f(x)<0的情況，或者f(x)存在函數值為0的點，遇到上述兩種情況時對數求導法是否依然適用？而大多數教科書對此都沒作解釋，而只是對方法加以介紹之后就引入若干例題，如科學出版社出版的《醫學高等數學》，天津科學技術出版社出版的《醫用高等數學》等教材，再查高等教育出版社出版的《高等數學》，天津大學出版社出版的《高等數學》等教材也同樣如此。善于思考的學生經常會有這樣的疑問：如果f(x)≤0，那么這種方法豈不是不不合理了？實際上，我們可以證明不論f(x)如何選取，對數求導法都是具備合理性與可行性的。

2 準備工作 所謂對數求導法，首先我們先從幾個用對數求函數導數求解的例題著手，以此來給對數求導法做一個簡單的介紹。 例1 用對數求導法求下列函數的導數： (1) y=xsinx； (2) y=xsinx1-ex ； （3） y=5x-55x2+2。(4) y=x+2(3-x)4(x+1)5;

【對數求導法的原理】：利用指數函數的換底公式f(x)=elnf(x)。

【對數求導法的方法】：在求顯函數y=f(x)的導數之前，先取其對數化為隱函數，再對取過對數的函數利用隱函數求導法關于x求導，得(lny)′=f′(x)f(x)，于是可以得到結果： f′(x)=(lny)′·f(x)

【對數求導法適用對象】：含若干因子乘、除、乘方、開方的函數；指數函數；冪指函數等。 例如例1中（1）、（2）兩例的求解過程如下： (1) 解： 在y=xsinx兩端同時取對數，得到 lny=sinxlnx （1） 在上式兩端分別對x求導，并注意到y是x的函數，得 1yy′=cosxlnx+sinxx 所以，我們有 y′=y(cosxlnx+sinxx)=xsinx(cosxlnx+sinxx) （2）解：在y=xsinx1-ex 兩端同時取對數，得到 lny=12［lnx+ln sinx+12ln(1-ex)］（2） 在上式兩端分別對x求導，并注意到y是x的函數，得 y′y=12［ 1x+cosxsinx+12 -ex1-ex］， 于是 y′=y［12x+cosx2sinx-ex4(1-ex)］

=12xsinx1-ex［1x+cosxsinx-ex2(1-ex)］ 其余兩個例子我們可采取同樣的方法對函數求導。 注意到：（1）式若有意義，要求必須有x>0，y>0，而原函數y=xsinx的定義域是x∈R，而且y的取值也可以是負數或者是零。同樣，（2）式中若lnx有意義，則必有x>0，同樣ln(1-ex)要有意義則必須有x<0。那么，從嚴格的角度來看，（2）式是無意義的。那么，是不是對數求導法對這道題是不適用的呢？不是的，我們在下文將會對這個問題作出分析。

3 分析 首先我們必須要知道對數求導法最初是有條件限制的，即：

【對數求導法的必要條件】：f(x)>0 在講對數求導法的過程中，我們大多數老師會告訴學生，對數求導法有其必要條件f(x)>)。但是，一般來說，這個驗證f(x)>0的過程是異常繁瑣的，而且還會碰到f(x)≤0的情況，例如例題中的第（4）小題，當x取值小于等于5時。下面我們分別就f(x)<0和f(x)含取值為0的點這兩種情況對數求導法的合理與可行性。 ① f(x)<0時 針對這種情況我們可以對函數取絕對值之后再利用對數求導法求解如下： ［ln|y|］′=|f(x)|′|f(x)|=［-f(x)］′-f(x)=f′(x)f(x) ∴ f′(x)=［ln|y|］′·f(x) 而我們知道［ln|y|］′=1y，所以實際上最終得到的結果和f(x)>0時是一樣的。那么，我們是不是可以考慮把對數求導公式改寫成先取絕對值再求導呢？這樣，就可以避免了f(x)<0帶來的尷尬。 但是，我們注意到在ln|f(x)|的右端分項表達式中，這樣做不僅帶來了麻煩，還對結果無任何影響。所以，我們不妨假定f(x)和右端各連乘因子均為正，因此就不再取絕對值了。在解題過程中我們經常連“不妨取f(x)>0”這句話也省略了。 ② f(x)取值為0的點處 這種情況，對數求導法也是沒有問題的。 首先，我們在利用對數求導公式對函數f(x)求導時，是默認的在f(x)的可導區間對其求導，例如，若ln|f(x)|=ln|x|。我們在利用公式(ln|x|)′=1x時，并不是沒有考慮x=0，而是默認此公式在x≠0時成立。 其次，導數的本質是一個極限運算，與函數值等于什么值是無關的，所以f(x)函數在“使f(x)=0的點x=x0”處完全也可能是可導的，此時怎么看待我們的對數求導法呢？此時對數求導法依然具有其合理性，其根據是“若f(x)在x=x0這個點處連續，且limx→x0f′(x)=A，則必有f′(x)=A”。 下面我們可以先來看一個在“f(x)=0”的點處函數不可導的例子和一個在“f(x)=0”的點處函數可導的例子。 例2 設y=3(x-1)(x-2)(x+3)(x-4)，求y′。 分析：注意到x=-3，x=4是原函數的可去間斷點，x=1，x=2是使“f(x)=0”的點，且f(x)在x=1，x=2點處是不可導的。如果直接利用復合函數求導公式求這個函數的導數，將是很復雜的，下面我們看一下用對數求導法求解本題。 解：先將方程兩邊取對數，得 lny=13［ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x+3)-ln(x-4)］ 再對上式兩邊同時對x求導，得 1yy′=13(1x-1+1x-2-1x-3-1x-4) ∴ y′=y3(1x-1+1x-2-1x+3-1x-4) =13(x-1)(x-2)(x+3)(x-4)(1x-1+1x-2-1x+3-1x-4) (3) 我們發現，用對數求導法求解本題，最終的結果(3)式在x=1，x=2，x=3，x=4處也是不存在的，我們默認此結果只有在x≠1，x≠2，x≠3，x≠4時成立。所以本題用對數求導法不僅劃繁為簡，而且體現出了我們分析的結果。 例3 求函數y=(2x6-5)9(x+7)3(1+x2)x 。 分析：注意到x=-7是函數的可去間斷點。x=±652是使“f(x)=0”的點，而且f(x)在x=±652是可導的，我們用對數求導法求解觀察結果是否體現這一特點。 解：先將方程兩邊取對數，得 lny=9ln(2x6-5)+xln(1+x2)-3ln(x+7) 再兩邊關于x求導數，得到 1yy′=912x52x6-5+x2x1+x2-31x+7 上式化簡之后得到 y′=y(108x52x6-5+2x21+x2-3x+7） =(1+x2)x(108x5(2x6-5)9(x+7)3-3(2x6-5)9(x+7)4)+(1+x2)x (2x6-5)9(x+7)3(2x21+x2+ln(1+x2)) 對于上述結果，我們默認只是在x≠-7時成立，而上述結果在x=±652的值也是存在的，即為原函數在x=±652處的導數值。關鍵之處在于我們在形式上處理了函數y(ln|y|)′的兩個可去間斷點。

4 結論 基于以上討論，我們發現當f(x)<0時，我們只需對f(x)稍作改變，即先取絕對值，然后再取對數。而我們發現當f(x)<0時，對數求導法所得結果同f(x)>0時對數求導法所得結果是相同的。既然結果不受f(x)符號的影響，我們通常在利用對數求導法求導之前先聲明“假設f(x)>0”，更多的情況我們都不做聲明，直接把f(x)當作的大于0的函數對其直接取對數再求導，最終結果是不受影響的。針對使f(x=0)的點，由前面的討論知對數求導法也是可行的。所以對數求導法針對任意情況都是具有其合理性與可行性的。

【參考文獻】 1 張雙德，鄭乃法.醫用高等數學.天津科學技術出版社，2001，38～47. 2 張雙德.高等數學.天津大學出版社，2005，49～60. 3 馬建忠.醫學高等數學.科學出版社，2007，37～43. 4 同濟大學應用數學系.高等數學.高等教育出版社，1999，86～96.