【摘要】： 培養和提高學生的數學應用意識，是中學數學教學的迫切要求，在中學數學教學的始終都應注重學生應用意識的培養。高中數學新教材在每章開頭的序言，問題引入，例、習題，“實習作業”和“研究性課題”中都編排了大量的應用問題，應根據高中學生的認知規律和思維特點進行應用問題的教學，培養學生的應用意識和應用能力。

【關鍵詞】： 數學 課程 應用意識 實踐

培養和提高中學生的數學應用意識，使學生掌握提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關學科，生產、生活中的數學問題，準確而靈活地運用數學語言研究和表述問題，是中學數學教育教學的迫切要求，在中學數學教學過程的始終都應注重學生應用意識的培養，加大應用問題的教學力度。數學應用問題，反映了數學與生產實際的聯系，能很好地考查學生分析和解決問題的能力，同時對培養學生的數學素質也有很大的幫助，因此嚴士健、張奠宙和蘇式冬在1993年《數學通報》上聯名發表了文章《數學高考題能否出點應用題》.之后，在全國教育系統展開了“應用問題教學”的討論，高考試題中出應用問題得到國家教委考試中心的充分肯定，引起了社會各界的廣泛關注.國家教委考試中的這一肯定在中學數學教學中發揮了較好的導向作用，教師加強了數學應用內容的教學，學生的數學意識、數學建模能力有所提高，近幾年高考中應用題的得分率也在逐年提高.然而，總體來說，學生用數學解決實際問題的能力還比較弱，高考解答題中應用題得分還屬于較低一類，平時課堂上數學應用題的教學也并不令人樂觀，出現許多不健康的現象，教師一味地為了高考，完成任務式的為解題而講題，教學效果偏低.

另一方面，新課改后的課本對于解決實際問題越來越重視，也越來越強調數學應用于實際，所以，如何更好的培養學生用數學解決實際問題的能力迫在眉睫.為了使數學應用問題的教學卓有成效，對學生這方面能力培養更加迅速，本人以自己多年的教學經驗談幾點拙見，與大家共勉.

一、高中數學新教材中的應用問題 傳統教材對知識的來龍去脈和數學的應用重視不夠，不重視引導學生運用所學知識解決日常生活、生產中遇到的實際問題，學生學數學用數學的意識不夠，解決實際問題的能力脆弱。新教材對此做了大的調整，增加了具有廣泛應用性、實踐性的教學內容，重視數學知識的運用，增強數學應用意識，提高學生分析問題，解決問題的能力，把培養學生運用數學的意識貫穿在教材的各個方面。

1 、每一章的序言，都編排了一個現實中的應用問題，引入該章的知識內容，以突出知識的實際背景。如在第三章《數列》以趣味話題：“國王對國際象棋棋盤發明者獎勵的麥粒數 ”的計算作為章頭序言，激發學習欲望，增加教材內容的趣味性。 在教材的編排上，既用通俗易懂的語言，陳述問題，又附以插圖增強直觀形象性、趣味性。

2 、在研究“具體問題”時以實際例子引入課題 高中數學的十章內容中，分別就概念引入、實例說明、數學表示等方面有三十一處都恰當的運用了實際問題和具體情景。如用“不同重量信件的郵資問題”表示分段函數，用功和位移的關系引入向量數量積的概念等。實例引入增強了問題的實際背景，為順利解決問題作了鋪墊。

3 、例題中的應用問題 例題中安排應用問題，一方面可以培養學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力，培養學生的應用意識，而且通過范例講解，使學生掌握解決應用問題的一般思想和方法。新教材的十章內容中共有 41 個例題是涉及數學應用的，占例題總數的 14.6% ，它們都非常接近學生的生活實際和所學知識，難易適中，示范性強。

4 、練習、習題、復習題中增加了應用問題的分量 為使學生鞏固所學知識，逐步提高分析問題、解決問題的能力，新教材在練習題，習題，復習題中增加了大量的應用問題，其中練習題有 45 題，占總數的 12.4% ；習題有 105 題，占總數的 18.15% ；復習題有 50 題，占總數的 14.91% 。分別涉及增長率、行程問題、物理、化學、生物問題，儲蓄等各個方面，量大面寬，情景新穎，融知識性，趣味性，自主實踐性于一體。

5 、閱讀材料 問題生動有趣，貼近學生生活，擴大學生閱讀面的閱讀材料，新教材中共安排了 15 個，其中： （ 1 ）歷史故事方面的，如第二章《函數》的“對數和指數發展簡史”，第五章《平面向量》中的“人們早期是怎么樣測量地球的半徑的？” （ 2 ）介紹數學應用方面，如第八章《圓錐曲線的光學性質及應用》，第十章《抽簽有先后，對各人公平嗎？》。 （ 3 ）擴充知識方面，有第五章《平面向量》中的“向量的三種類型”等。

6 、新增了“實習作業”和“研究性課題”。 為了使學生親自體驗數學知識的應用，靈活運用數學知識解決實際問題，加強學生學習的自主活動性，培養綜合運用知識的能力。新教材安排了三次實習作業，一是 “函數關系的實習作業”，讓學生調查研究附近商店、工廠、學校潛在的函數問題；二是利用“平面向量”知識解決不能直接測量的距離、方向問題。三是“線性規劃的實際應用”。 研究性課題是培養學生應用意識和創新能力的重要內容，新教材分別在第三、五、七、九章中安排了四個研究性課題：“分期付款中的有關計算”、“向量在物理學中的應用”、“線性規劃的實際應用”、“多面體歐拉定理的發現”，讓學生動手操作，選擇優化方案、歸納概括，恰當建模，運用理論指導實踐。

二、高中數學應用題問題的教學實踐

傳統的教學大都是老師講，學生聽，難以培養學生的學習興趣。為了打破這些傳統的教學模式，培養學生的學習興趣，各種各樣的教學方法應運而生。其中問題教學法就是一種適合高中數學教學的有效教學方法。所謂問題教學法，就是學生在自己對教材知識理解的基礎上，加上自己的思想；通過課前預習，對不理解的知識向老師提出疑問；老師再根據學生的問題，歸納總結典型問題，進行課堂討論、分析，解決問題，讓課堂有問有答，師生互動。要想有效地利用問題教學法進行教學，必須很好地掌握“問題解決教學”實踐的方法。這些方法主要包括：根據學生已經掌握的知識，創設有效的數學問題情境；根據信息技術提出問題，讓學生理解數學內涵；通過概念設置問題，在疑問中發現數學規律。

高中學生年齡一般在 15 — 17 周歲，他們認識過程的各種心理成份雖已接近成人的水平，但智力活動帶有明顯的隨意性，其抽象思維從“經驗型”向“理論型”急劇轉化。能夠逐步的擺脫具體形象和直接經驗的限制，借助于概念進行合乎邏輯的抽象思維活動，開始在教師幫助下獨立地搜集事實材料，進行分析綜合，抽象概括事物的本質屬性。因此，應結合學生的心理特點和思維規律，進行應用問題的教學。

1 、重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓練 為培養學生的應用意識，提高學生分析問題解決問題的能力，教學中首先應結合具體問題，教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程，建模思想。 教學應用題的常規思路是：將實際問題抽象、概括、轉化 -- 數學問題 、 解決數學問題 、回答實際問題。具體可按以下程序進行： （ 1 ）審題：由于數學應用的廣泛性及實際問題非數學情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數學無關的因素，抽象轉化成數學問題，分清條件和結論，理順數量關系。為此，引導學生從粗讀到細研，冷靜、慎密的閱讀題目，明確問題中所含的量及相關量的數學關系。對學生生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學生將實際問題數學化。 （ 2 ）建模：明白題意后，再進一步引導學生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數式表示，它們之間存在著怎樣的聯系？將文字語言轉化成數學語言或圖形語言，找到與此相聯系的數學知識，建成數學模型。 （ 3 ）求解數學問題，得出數學結論 （ 4 ）還原：將得到的結論，根據實際意義適當增刪，還原為實際問題。 例：某城市現有人口總數 100 萬人，如果年自然增長率為 1.2 ％，寫出該城市人口總數 y( 人 ) 與年份 x ( 年 ) 的函數關系式 這是一道人口增長率問題，教學時為幫助學生審題，我在指導學生閱讀題時，提出以下要求： ——粗讀，題目中涉及到哪些關鍵語句，哪些有用信息？解釋“年自然增長率”的詞義，指出：城市現有人口、年份、增長率，城市變化后的人口數等關鍵量。

——細想，問題中各量哪些是已知的，那些是未知的，存在怎樣的關系？ ——建模，啟發學生分析這道題與學過的、見過的哪些問題有聯系，它們是如何解決的？對此有何幫助？ 學生討論后，從特殊的 1 年、 2 年…抽象歸納，尋找規律，探討 x 年的城市總人口問題： y=100(1 1.2%) x .

2 、引導學生將應用問題進行歸類 為了增強學生的建模能力，在應用問題的教學中，及時結合所學章節，引導學生將應用問題進行歸類使學生掌握熟悉的實際原型，發揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數學建模的困難，如將高中的應用題歸為：①增長率（或減少率）問題②行程問題③合力的問題④排列組合問題⑤最值問題⑥概率問題等。這樣，學生遇到應用問題時，針對問題情景，就可以，通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯想，建立數學模型。 3 、針對不同內容采取不同教法 高中新教材的數學應用問題遍及教材的各個方面，教學時針對不同內容，有的放矢，各有側重，就會取得較好的效果。 （ 1 ）章頭序言，指導閱讀，留下懸念 對圖文并茂的章頭序言，由教師簡單提出或由學生閱讀，使學生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。 （ 2 ）重視例題的示范作用 例題是連接理論知識，與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應在分析題目各個量的特點關系，建模，解決數學問題、還原為實際問題諸環節都應很好的起示范作用，教師應重視例題的分析與講解，積極進行啟發式教學，培養學生分析問題，解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視數學理論知識與實際應用的聯系。 （ 3 ）指導練習，鞏固方法 充分運用課本的練習題、習題、復習題，讓學生自己動手、動腦，應用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導；而習題則更多利用教師批改作業的機會，主要糾正數學語言轉化過程，及解題的規范過程；復習題由于綜合性強，學生解決有困難，教師要給予必要的指導、提示。 （ 4 ）課外閱讀，補充提高 對于不作教學要求的閱讀材料，根據教學進度提出閱讀要求，布置學生進行課外閱讀，培養學生的閱讀能力，擴大知識面，激發學生的學習興趣。 （ 5 ）實習作業，重視實際操作與團結協作 完成實習作業，可以打破單一沉寂的課堂教學氛圍，激發學生的探索精神，培養學生的實踐能力，進一步培養學生應用數學的意識和創新能力。但實際問題的因素是錯綜復雜的，這就要求學生在調查、分析、研究的基礎上，抓住本質，通過篩選，去粗取精，結合數學知識，進行建模解決實際問題。如第五章《三角函數》中的實習作業，對不能直接測量的兩點的距離，教師選定符合要求的地點，組織學生實際測量，通過計算器進行計算，學生興致很高，特別是對“已知兩邊和一對角”解三角形的三種情況，通過動手操作，實地測量，加深影響，激發了學生的探索精神，增強了學生的感性認識。 （ 6 ）研究性課題，重視自主探究 “研究性課題”是新教材中的一個專題性欄目，具有探究性和應用性的特點，它既是所學內容的實際綜合應用，又對學生探究和解決問題具有較好的訓練價值。 § 3.6 的“研究性課題”，一個有關分期付款的問題，因為很多人一次性地支付售價較高的商品款額有一定困難，另一方面不少商家也不斷改進營銷策略，方便顧客購物和付款，它與每個家庭的日常生活密切相關，在今天的商業活動中應用日益廣泛。對它的探究將會引起學生極大的興趣，教學這一課題時，應突出以學生探究為主，教師點拔、介紹為輔，教師不斷提出問題，介紹情況、啟發誘導。鼓勵學生研究和探索。 第一步，讓學生閱讀教材 P 134 的方案表，明確每個付款方案的次數、方式。 第二步，引導學生探究第二種方案，即分 6 次付清，購買后第 2 個月第一次付款，再過 2 個月第 2 次付款，…購買后 12 個月第 6 次付款，月利率為 0.89 ％，每月利息按復數計算。

首先，學生根據要求試做，不少學生得出每期付款 元，也有學生得出每期付款 元。這時教師不必指出對錯，進一步分析、調整學生思維，這兩種方式對誰有利？學生計算后，自然得出前者對顧客有利，商家吃虧，而后者對商家有利，顧客吃虧，都不符合買賣公平的原則。 然后，教師適時的指出分期付款的條件，引導學生將原問題進行以下分解： ①商品售價時的貨款到全部付清時增值到多少？ ②各期所付款額到貸款全部付清時分別增值到多少？ ③利用付款中的有關規定列出方程： 最后，引導深化——研究不同方案及一般結論，讓學生計算方案 1 、 3 ，教師巡視指導，再由學生分組交流、比較結果，選擇最優方案，得出一般結論。

三、采用問題教學法的效果

在高中數學課堂中，采用問題教學法，能夠取得良好的教學效果，主要體現在以下幾點：

1.增強了學生學習數學的積極性和主動性

問題教學法是以問題為中心，在課堂上出現一個又一個問題，學生們根據問題不斷思索，課上變得專注，注意力集中，參與分析、解決問題的全過程，大大增強了學生的積極性和主動性。

2.真正實現了以學生為主的課堂教學

問題教學中的問題面向全體學生，避免了傳統教學中出現的遺忘差生的現象。通過問題，再加上老師的點撥，學生主動思考，自覺探討問題的答案，真正成為學習的主人，增強了解決問題的能力。同時利用問題情境把他們的思維推向求異、求寬、求深的高層次，有廣闊的活動空間。

3.學生分析解決問題的能力有了進一步的提高

通過問題教學，學生不斷地思考問題，分析問題，解決問題，在頭腦中就會建立一個有效的數學認知結構，在不斷的思索中，解決問題的能力也在一步一步地提高。

實踐證明，問題教學法在高中數學教學中取得了良好的效果，是一種有效的教學途徑。在以后的教學中，我們要結合實際要學知識，積極有效地采用問題教學法來提高學生的積極性，讓學生在學習中不斷地享受成功的喜悅。四、對高中數學應用問題的教學建議

1 、在數學應用問題的教學和對學生學習的指導中，應重視介紹數學知識的來龍去脈。 一般情況下，數學知識的產生不外乎實際的需要和數學內部的需要，高中階段所學的知識大都是來源于實際生活，許多的數學知識都有具體直接的應用，如高二運用不等式的性質計算最值，線性規劃，高三的概率統計等。應該讓學生充分實踐和體驗這些知識是如何使用的，在此基礎上讓學生感受和體驗數學的應用價值。

2 、學會運用數學語言描述周圍世界中出現的數學現象 數學語言可以清楚、簡潔、準確地描述日常生活中的許多現象，讓學生養成樂意運用數學語言進行交流的習慣，既可以增強學生應用數學的意識，也可以提高學生運用數學的能力。在教學中，需幫助學生形成一個開闊的視野，了解數學對于人類發展的應用價值。在知識實踐，能力培養的基礎上，教師應主動地向學生展示現實生活中的數學信息和數學的廣泛應用，向學生提供豐富的閱讀材料，讓學生感受到現實生活與數學知識是密切相關，處處聯系的。

3 、關于應用問題中的算法問題 新教材要求用科學計算器，處理、計算數值，在例題、習題中給出的數據都比較復雜，我認為高中數學應用題的重點是數學建模，所以正確建模，明白算法、算理應占主流，一味追求“實際”，多次出現一些復雜數據，會沖淡主要問題的解決。事實上，每節中只要有一兩道實際數據的題目，其他的可選擇特殊數據或干脆用字母表示，不僅可突出算理，而且會加強應用問題的分析，節省時間，體現字母代數的優越性。

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【1 】全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本?必修）數學 第一冊［ M ］．北京：人民教育出版社． 2000 年

【2 】王尚志．培養學生的應用意識是數學課程的重要目標［ J ］．數學教育學報． 2002 ，（ 2 ）

【3 】方明一．積極穩妥地進行數學課程改革［ J ］．高中數學課程教材講習班專家講課講稿． 2001 年 7 月．