摘要：良好的認知結構有利于同化新的知識，有利于遷移到新的學習情境，因而，設計總復習是必要的。總復習設計遵循可持續發展原則、提供線索原則和兼顧教與學原則。在具體設計時，要提供梳理知識的線索，提供適切的數學活動，提供具有綜合性、挑戰性的習題，提供探索的空間。這樣設計總復習，超越了知識的強化，有利于學生認知結構的形成和優化；超越了技能的訓練，有利于學生解決問題能力的提升。總復習為學生的發展做了準備。

關鍵詞：小學數學教科書；總復習設計；原則；策略

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱新課標）頒布至今已有五個年頭，第一輪新課標小學數學教科書的編寫幾近尾聲，關于總復習的問題自然提上了日程。在全面實施新一輪基礎教育課程改革的背景下，有沒有必要設計小學數學總復習？如果有必要，那么怎樣設計總復習？總復習設計應遵循哪些原則？采取哪些策略？本文結合編寫新課標小學數學教科書的實踐，對上述問題進行了思考。

一、總復習設計的必要性

（一）數學知識發展的需要

從小學到初中，數學知識發生了較大的變化：既有量的變化，又有質的變化。量的變化即知識外延的擴充，比如數從非負有理數到有理數。質的變化即知識性質發生了變化，這一點尤為突出。比如，數與代數部分，從數發展到代數，從具體的量到抽象的量，從具體的運算到抽象的運算，總體而言是從常量數學發展成了變量數學，這是數學發展的一次飛躍；空間與圖形部分，從動手操作、特征認識、度量計算，發展到特征認識、度量計算與演繹證明相結合，總體而言，是從操作幾何發展成了演繹幾何，直觀感知上升到邏輯推理，是數學學習必須逾越的一道關口；統計與概率部分，從定性感受、簡單計算，發展到定性感受、定量計算并能進行一定的邏輯推理，總體而言，是從定性描述發展成了定量思維。

數學知識性質的變化，容易給學生的學習帶來困難。“毋庸置疑，歷史上數學家所遇到的困難，恰恰正是學生會遇到的學習障礙。”［1］如何克服這些障礙呢？學生“由小學經中學以至大學的進程中所存在的部分困難……可以依靠在教學中強調結構和原理的辦法來彌補”。［2］（43）通過復習，“突出那些最為核心的基本概念和基本原理以及它們之間的聯系，用這些基本的知識統率其他知識，就能夠解決中小學數學的銜接問題”。［3］因為這樣的知識結構具有“生產性”，具有遷移力。［4］（125）

（二）數學學習的需要

“學生是通過聯結先前知識和新知識而學習的”“互相關聯且建立在概念和原理上的知識能夠比較容易地被用于新的情境”。［5］通過對先前概念、原理等知識的梳理，通過對概念、原理之間聯系的建立，有利于形成良好的認知結構，有利于學生的學習。

有利于同化新知識。學習新知識，就要聯結先前的知識，這就要求先前知識和新知識之間有著合適的潛在距離。通過復習，學生“將教材知識結構轉化成自己的認知結構”，［6］擁有了這樣的認知結構，就“能夠縮小高級知識和初級知識之 間的差距”。［2］（42）這樣，新舊知識之間就有了合適的潛在距離，舊知識為新知識的學習提供了合適的固著點。因而，容易建立新舊知識之間本質的和非人為的聯系，從而，使新知識獲得意義，產生有意義的學習。［7］

有利于把學習遷移到新的情境。新知識的性質發生了較大的變化，需要以原來的知識作基礎，需要遷移原來的學習。遷移是人類認知的普遍特征，“學生具備遷移的能力，方可靈活運用所學的知識技能來解決新問題，或在新情境中進行快速的學習”。［8］對舊的學習的遷移，不是知識點的點滴遷移，而是概念、原理、策略、方法、態度的遷移，特別是知識結構的遷移。這就需要系統的、結構化的知識。“領會基本的原理和觀念，看來是通向適當的訓練遷移的大道”。所以，應該“給予那些和基礎課有關的普遍的和強有力的觀念和態度以中心的地位”，［2］（37）也就是把結構放到中心的地位。

比如，對于分數，其核心概念和基本原理是分數的意義、性質和分數與除法的關系，利用這些核心概念和基本原理，即可建構起關于分數的認知結構。這就為分式的學習提供了知識的固著點，分式的知識就容易獲得意義、容易理解了。分數的知識也就容易遷移到分式了。同樣地，如果學生擁有比較牢固的非負有理數知識，再學習有理數時，就容易多了，從計算的角度而言，僅僅多了一個符號問題。這是典型的產生式遷移。

（三）良好學習習慣養成的需要

體驗知識發生發展的過程，自覺整理知識、提煉知識、建立知識之間的聯系，是學習的良好習慣。研究表明，優秀的學生與一般的學生相比，擅長反思和總結，習慣將知識以網狀形式存儲。“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。”［2］（48）

良好的學習習慣是一個學生成功的關鍵因素之一。教師指導學生學會學習的一條重要途徑就是培養學生良好的學習習慣，體驗、提煉、建立知識之間的聯系就是好的學習習慣。復習有利于養成學生一絲不茍的學習態度，有利于養成學生從宏觀的角度、以聯系的觀點看問題的習慣。另外，在復習中，學生“由于發現觀念間的以前未曾認識的關系和相似性的規律”，而能夠“產生對本身能力的自信感”。［2］（39）

二、總復習設計的原則

（一）可持續發展原則

總復習的落腳點在于，為學生下一步學習打好基礎，為學生的進一步發展做好準備。總復習要體現前瞻性、發展性、可持續性。

超越知識的強化，形成認知結構。數學知識有著比較清晰的發生、發展、演變的脈絡，知識之間有著比較嚴密的邏輯關系；數學知識與日常生活和其他學科之間有著密切的聯系。理清了這些脈絡，把握了這些聯系，就可以建構起對數學知識的認識之網。總復習要注重知識的來龍去脈、生成演變，注重知識之間聯系的打通和建立。這樣的總復習超越了對知識的強化：通過對知識的梳理，形成良好的認知結構；而良好的認知結構具有再生性和遷移力。

超越技能的訓練，提升能力。“初步學會從數學的角度提出問題、理解問題，并能綜合應用所學的知識和技能解決問題，發展應用意識，形成解決問題的一些基本策略”是新課標的基本要求之一。［9］（7）總復習要提供一些具有應用性、探索性、開放性的數學活動，讓學生在活動中、在解決問題中，創造性地應用知識，提升能力。因而，這樣的復習不再僅僅是技能的訓練。

同時，要關注學生的全面發展。總復習要促進學生的全面發展，要關注多維課程目標的落實，亦即，除了認知結構的形成、能力的提升外，要培養學生對數學積極的情感態度，培養學生良好的學習習慣，培養學生對數學一絲不茍的精神，培養學生對數學持久的興趣。

（二）提供線索原則

總復習提供的是學生進行復習的基本線索，這些線索包括：梳理知識的線索，進行數學活動的線索。這些線索要有利于學生按照知識發生、發展的脈絡來梳理知識，按照知識之間的縱橫聯系來梳理知識；要有利于學生在一個適當的情境中綜合地、創造性地應用所學的知識、方法和策略來解決問題。

既然是線索，就要注意線索的啟發性、引導性、統率性；既然是線索，就要提綱挈領，簡明扼要；既然是線索，就要提供給學生自己梳理知識、自主開展活動的空間。總復習絕對不是把已經學過的知識再呈現一次，教師再嘮叨一回，學生再回顧一遍。總復習就是要求學生按照線索梳理知識，開展活動：自己建構起知識與知識、知識與生活的聯系。

這條原則事實上也體現了總復習的活動性。

（三）兼顧教與學原則

總復習的設計要兼顧教與學兩個方面：既利于教師的教，又利于學生的學；既發揮教科書的教材作用，又發揮教科書的學材作用。

總復習的設計既要利于教師的教，又要利于學生的學，這是對教師與學生雙主體的尊重。特別地，由于總復習不再是新知識的生長，而主要是認知結構的重組和優化，故而，總復習要充分考慮到以學生的學習為主，以學生的活動為主。教師的作用體現在組織、指導學生開展活動上，體現在對學生獲得的結果（本質上就是認知結構和解決問題的策略）進行優化上：在學生梳理知識時，教師要適時介入，并對學生梳理的結果進行評價，以幫助學生優化認知結構；在學生開展數學活動時，教師要為學生的認知搭建必要的腳手架，以保持學生高水平的認知活動。

“教材的編寫應有助于確立學生在學習過程中的主體地位”“教材的編寫還要有利于調動教師的主動性和積極性，鼓勵教師進行創造性的教學”。［9］（59-79）從而，教材就應兼顧學與教，促進師生間的積極互動。“教科書不僅是教師用以指導學生的‘教材’，也是學生用以學習的‘學材’，而后者的意義更加重要。”［4］（389）作為總復習，教科書為學生的學習提供了線索，更多地面向學生。

三、總復習設計的策略

（一）提供梳理知識的線索，促進認知結構的形成和優化

梳理知識的線索要突出知識發生、發展的過程和脈絡，以便于學生建立知識之間的縱橫聯系，加深對知識的理解；梳理知識的線索要突出核心概念、基本原理的地位，以便于學生用它們統率相關的知識，形成結構化的知識體系。

比如，數與代數部分，知識梳理的線索可以是：（1）按照數生成、發展的順序來理解數（包括數的意義、表征、大小、稠密性、數量之間的關系）；（2）理解數的運算（包括運算的意義、運算的方法、各種運算之間的聯系）；（3）等式與方程；（4）比例。這樣進行梳理，學生既可以加深對數與運算的理解，又可以受到研究方法的濡染：為什么引入新數，引入新數后按照怎樣的思路進行研究（學習）。

教科書可以用學生對話的方式來呈現“理解數”的線索，例如：

學生A：我們學習了整數、分數、小數，還初步認識了負數……

學生B：我知道數的一些性質，如分數的性質……

學生C：整數、分數、小數之間有密切的聯系……

細言之，縱向看，從自然數、分數到負數，數的每一次擴充都源于現實的需要：為了表示部分，引進分數；為了表示具有相反意義的量，引進負數。橫向看，每產生一種新數后，就要了解它的意義、它的表征，它與其他數量之間的關系，它的四則運算的意義和法則。整數、分數與小數意義之間的聯系，分數與小數基本性質之間的聯系，整數、分數與小數運算之間的聯系，是把橫向梳理聯結起來的橋梁。

又比如，空間與圖形部分，教科書可以用學生對話的方式來提供“平面圖形面積的計算和應用”的梳理線索：

學生D：我會計算三角形的面積，計算公式是……

學生E：用平行四邊形的面積公式可以推導出三角形的面積公式……

學生F：不規則圖形的面積怎樣算呢？

如果說學生D提供的僅僅是對知識簡單回憶的線索，那么，學生E提供的就是探索知識生成演變、建立知識之間聯系的線索，亦即由長方形的面積公式推導出平行四邊形與圓的面積公式，由平行四邊形的面積公式推導出三角形、梯形的面積公式。學生F提供了求不規則圖形面積的思路：用規則的圖形來逼近不規則的圖形。

在實際教學中，教師要為學生提供自主梳理知識的時間和空間，不能越俎代庖。學生良好的認知結構是在個人思考中初建的，在小組合作中形成的，在班級交流與教師的指導下優化的。

（二）提供適切的數學活動，促進解決問題能力的提升

總復習可以提供具有較強現實性、應用性、探索性和開放性的數學活動。學生在活動中應用已經梳理的知識，提升解決問題、探索認知的能力。

比如，為了讓學生應用平面圖形知識解決實際問題，可以設計以下數學活動。

活動1：在一個長9米，寬4米的長方形草地上，設計一個花壇，花壇的面積恰好是草地面積的一半。請給出你的設計。

這是一個開放度較大的數學活動。學生可以把花壇設計成三角形、長方形、平行四邊形、梯形；可以從美觀、實用的角度對設計方案進行優化。甚而，學生在尋求面積為18m2的圖形時，可以探索得到“等底等高的三角形面積相等”。

又比如，為了讓學生體會平面坐標系的本質是位置數量化，建立起數與形之間的聯系，并為下一步學習平面直角坐標系埋下伏筆，可以安排下列活動。

活動2：下面是幸福村的平面示意圖。

（1）說一說。學校、種植園、工廠、冬冬家、養殖場分別在村委會的哪個方向？村委會分別在這些地方的哪個方向？

（2）量一量，填一填。①種植園在村委會北偏東45方向的2200m處，表示為（45，2200）。②冬冬家在村委會（），表示為（）。

（3）說一說。①種植園的位置描述為從村委會向東走3個單位，再向北走3個單位。②工廠的位置描述為從村委會（）。

（4）填一填。①學校的位置表示為（2，0）。②種植園的位置表示為（）。

（5）算一算。幸福村的總面積大約是多少？

用語言描述某一建筑物的方向和距離，然后用數字來表示這一建筑物的位置，其中隱含、滲透著極坐標的思想。用語言描述從村委會出發，向東（西）走、向北（南）走多少個單位，確定某一建筑物的位置，然后用數字來表示該建筑物的位置，其中隱含著直角坐標的思想。這是很好的數學本原性問題，也是已有知識的拓展與延伸。

在以上數學活動中，學生既復習了舊知識，又探索了新知識。這樣的復習“瞻前顧后”，能夠促進學生能力的提升。

（三）提供具有綜合性、發展性和挑戰性的習題，促進知識與知識、知識與生活聯系的建立

習題設計是總復習設計的一個重要環節。總復習中的習題與新授課后的習題有較大的不同，總復習中的習題，概括程度要高，綜合性要強，覆蓋面要大，要具有適度的挑戰性、開放性、應用性；總復習中的習題，題量要少，題目要精。比如，可以提供這樣的練習題：

練習1：把下頁圖中的6個小正方形涂上顏色。使用這個圖，直觀地說明怎樣解決下面的問題：（1）涂色部分用百分數表示是多少；（2）涂色部分用小數表示是多少；（3）涂色部分用分數表示是多少。

如果按照程序化的方法，這個問題易于解決。但是，題目中要求“使用圖”來解決問題。這樣，學生就必須建立起百分數、分數、小數意義的直觀表征，就必須通過直觀圖建立起它們之間的聯系。

練習2：小山羊、小白兔、小松鼠在草地上各圍了一塊菜園（小山羊圍的是一個邊長為6.28m的正方形。小白兔圍的是一個長寬分別為6.56m、6m的長方形。小松鼠圍的是一半徑為4m的圓）。（1）它們各用了長多少米的籬笆？（2）誰圍的面積大？誰圍的面積小？（3）在解決問題的過程中，你發現了什么？

解決這個問題，學生要使用平面圖形周長和面積的計算公式。該問題的精彩之處在于，要通過對面積和周長的對比，猜測、發現一條規律：同樣的周長，圍成圓形的面積最大。

這些練習題既有利于對基礎知識和基本技能的復習，又有利于能力的提升。這些練習題具有一定的層次性和較強的適應性，不同程度的學生可以得到不同的體驗和收獲。

（四）提供探索的空間，促進學生的探索與交流

總復習要為學生的探索和交流提供足夠的空間。具體說來，可以通過總復習的下述特性體現出來。

線索的啟發性。線索本身只是指出了梳理的方向和緯度，具體工作由學生來完成。

活動的探索性。總復習所提供的活動具有一定的探索性、開放性，這就給學生創造了自主活動的空間。比如，活動1。

習題的挑戰性。總復習所提供的習題具有一定的綜合性、挑戰性，學生可以根據自己的情況，給出不同層次、不同水平的解決方案。比如，練習1。

思考題的前瞻性。總復習可以提供一些具有前瞻性的問題供學生思考。比如，可以提供這樣的思考題：

思考題：在小學里，大的數可以除以小的數，小的數也可以除以大的數。大的數可以減小的數；想一想，小的數可以減大的數嗎？

提供給學生探索的空間，才能夠真正轉變學生的復習方式，避免教師條分縷析式的講解。

（五）呈現方式生動活潑，激發學生的學習興趣

總復習可以設置知識梳理、課堂活動、 練習、問題與思考、綜合實踐與應用等欄目。對這些欄目，可以使用學生感興趣的圖片、卡通、游戲、表格以及生動活潑的文字表述等方式來呈現，達到圖文結合、數形結合。對這些欄目，可以設置成“議一議”“做一做”“想一想”，達到動靜結合，自主探索與合作交流結合，從而使學生在學中樂、在樂中學。

［1］Kline，M.A Proposal for High School Mathematics Curriculum［J］.Mathematics Teacher，1966，59(4):322-330.

［2］〔美〕布魯納.教育過程［M］.邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982.

［3］李光樹.小學數學整體教學策略［M］.重慶：西南師范大學出版社，1994.9.

［4］鐘啟泉.現代課程論［M］.上海：上海教育出版社，2003.

［5］全美數學教師理事會.美國學校數學教育的原則和標準［M］.蔡金法，譯.北京：人民教育出版社，2000.19—21.

［6］李光樹.小學數學整體結構教學研究［J］.課程·教材·教法，2000，（8）：25—30.

［7］邵瑞珍.教育心理學參考資料選輯［M］.上海：上海教育出版社，1990.111—124.

［8］吳慶麟.認知教學心理學［M］.上海：上海科學技術出版社，2000.209.

［9］中華人民共和國教育部全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）［S］.北京：北京師范大學出版社，2001.