內容提要： 使學生鞏固基礎知識，有一定的解題技能，并對學生進行必要的分析綜合聯想等能力的訓練，培養學生的直覺思維，使學生能迅速把握數學問題所涉及的基礎知識，是使學生能解出初中數學會考中的難題的關鍵。

關鍵詞： 解題技能聯想把握問題實質

每年初中數學會考，一般都把試題分為容易題（基礎題），中檔題以及難題。近年初中數學會考中，難題一般都占全卷總分的四分之一強，難題不突破學生是很難取得會考好成績的。

初中數學會考中的難題主要有以下幾種：1，思維要求有一定深度或技巧性較強的題目。2，題意新或解題思路新的題目。3，探究性或開放性的數學題。

針對不同題型要有不同的教學策略，無論解那種題型的數學題，都要求學生有一定的數學基礎知識和基本的解題技能（對數學概念的較好理解，對定理公式的理解，對定理公式的證明的理解；能很熟練迅速地解答出直接運用定理公式的基礎題），所以對學生進行 “雙基”訓練是很必要的。當然，初三畢業復習第一階段都是進行 “雙基”訓練，但要使學生對數學知識把握得深化和基本技能得到強化，復習效果才好。

有些老師認為，對全班進行面上的復習只要復習到中等題就行，不必進行難題的復習，那些智力好的學生你不幫他們復習他們也會做，那些智力差的學生你教他們也白白浪費時間。其實，學生有一定的數學知識和基本的解題技能也不一定能解出難題，這是因為從數學基礎知識出發到達初中會考中的難題的答案，或者思維深度要求較高——學生思維深度不夠，或者思路很新——學生從來沒有接觸過。但，很多有經驗的初三畢業班的老師的多年的實踐證明，針對難題進行專題復習是很有必要的，只要復習得好，對中等以上學生解難題的能力的提高作用是較大的。對此，我們在第二階段復習中要對學生針對難題進行思維能力的訓練和思路拓寬的訓練。當然，這種訓練也要針對學生的 “雙基”情況和數學題型，這種訓練要注意題目的選擇，不只針對會考，也要針對學生思維的不足，一定量的訓練是必要的，但要給出足夠的時間給學生進行解題方法和思路的反思和總結，只有多反思總結，學生的解題能力才能提高。老師要注重引導，不能以自己的思路代替學生的思路，因為每個人解決問題的方法是不一定相同的。

過去，有些初三畢業班的老師，在會考復習中，找來各地各區的模擬題對學生進行一輪輪的訓練，練完講，講完練，師生都很辛苦，但效果卻不很理想，這是因為這種題海戰術式的復習方法沒有做到因材施教，老師的教學對學生的知識技能及思維能力和對數學題型的針對性都不足。學生沒有體現學習的主體性，也沒有足夠的時間進行總結和反思。因此，學生的解題技能和思維能力沒有真正得到提高。

有些老師覺得，會考難題難度大，考試題型新而難以捉摸。對難題的專題復習就是把今年會考難題以及當年各地各區的模擬考試題中的難題講練一次。這種以題論題的復習也難以使學生解難題的能力有實質性的提高。

初中數學會考試題的命題者的命題目的是考查我們初中畢業的學生對初中數學基礎知識的掌握情況，試題當然都離不開初中的基礎知識。所謂難題，只是籠上幾層面紗，使我們不容易看到它的真面目。我們老師的任務就是教會我們的學生去揭開那些看起來神秘的面紗，把握它的真面目。程咬金用三道板斧能在戰場上取勝，我們的學生已經掌握了所有初中數學的基礎知識，有一定的解題技能，只要我們對學生的引導和訓練得當，我們的學生一定能在考場上取勝。

關鍵是，我們對學生的復習訓練能使學生對知識融會貫通并強化學生的解題技能，同時，我們老師的得當的引導，學生訓練后的反思總結，對知識的自主構建，從而把握各類數學難題的實質——跟初中數學基礎知識的聯系。

對難題進行分類專題復習時，應該把重點放在對學生進行對數學難題跟基礎知識的聯系的把握能力的訓練以及引導學生迅速正確分析出解題思路這一點上，并從中培養學生解題的直覺思維。應當先把難題進行分類。然后進行分類訓練。在課堂上不必每題都要學生詳細寫出解題過程，一類題目寫一兩題就行了，其他只要求學生能較快地寫出解題思路，回去再寫出詳細的解題過程。 我認為可以將初中會考中的難題分以下幾類進行專題復習：

第一類： 與一到兩個知識點聯系緊密的難題：

例1 如圖，在⊙O中，C是弧AB的中點，D是弧AC上的任一點（與 D C 點A，C不重合），則（ ） A

（A）AC+CB=AD+DB（B）AC+CB

（C）AC+CB>AD+DB （D）AC+CB與AD+DB的大小關系不確定

教學引導： 與線段大小比較有關的知識是什么？（三角形任意兩邊之和大于第三邊或大邊對大角等）

如何把AC+CB與AD+DB組合在一個三角形中比較大小呢？

附解答方法：以C為圓心，以CB為半徑作弧交BD的延長線于點E連結AE，CE，AB.

∵CE=CB ∴∠CEB=∠CBE又∠DAC=∠CBE

∴∠CEB=∠CAD而CA=CE 得∠CEA=∠CAE

∴∠CEA-∠CEB=∠CAE-∠CAD

∴∠DEA=∠DAE

∴DE=DA

在△CEB中，CE+CB>BE即AC+CB>AD+DB. 故選（C）。

評議： 本例教學關鍵是引導學生把AC，CB，AD，DB這些線段構造在一個三角形上。 例2 已知： ⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點，若PM切⊙O1于M，PN切⊙O2于N，且PM>PN.試指出點P所在的范圍。

教學引導：（1） 先畫圖，試判斷，并嘗試去證明。（2）看看可能有幾種情況。

（3）出示右圖，要求學生指出點P的范圍（點P在直線AB的⊙O2

的一側，且在⊙O2外），學生指出點P的范圍后，要求學生

證明 .（4）學生證明有困難時，作點撥： 若點P在直線AB上時可以證得什么？ （PM=PN），如何證明？

（用切割線定理：PM2=PA*PB，PN2=PA*PB，故，PM=PN）現在可以應用切割線定理來證明PM>PN嗎？

（5）學生還不能證明時，作提示：

連結PB，交⊙O1于點C，交⊙O2于D，用切割線定理

（證明：PM2=PC*PB，PN2=PD*PB，因PC>PD，所以PC*PB>PD*PB，即PM2>PN2，所以PM>PN）

（6）是不是還有其他情況？（引導學生找出以下兩種情況：圖二和圖三，并要求學生指出點P的范圍，并作出證明）

評議：本題關鍵是引導學生用切割線定理來證明，并且進行分類討論。

這類難題，教學的關鍵是引導學生緊扣與題目相關的知識點，直到把問題解決。 第二類： 綜合多個知識點或需要一定解題技巧才能解的難題。

這類難題的教學關鍵要求學生運用分析和綜合的方法，運用一些數學思想和方法，以及一定的解題技巧來解答。

例1 在三角形ABC中，點I是內心，直線BI，CI交AC，AB于D，E.已知ID=IE.

求證： ∠ABC=∠BCA，或∠A=60°。

教學點撥： 本題要運用分析與綜合的方法，從條件與結論兩個方向去分析。 從條件分析，由ID=IE及I是內心，可以推出△AID和△AIE是兩邊一對角對應相等，有兩種可能： AD=AE或AD≠AE，

從這可以推得∠ADI與∠AEI的關系。 從結論分析，要證明題目結論，需要找出，∠ABC與∠ACB的關系，∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB，而∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC.從條件和結論兩個方面分析，只要找出∠AEI與∠ADI的關系就可以證明本題。

附證明過程： 連結AI，在△AID和△AIE中，AD與AE的大小有兩種可能情形： AD=AE，或AD≠AE.

（1）如果AD=AE，則△AID≌△AIE，有∠ADI=∠AEI.

而∠ADI=1/2∠ABC+∠ACB， ∠AEI=1/2∠ACB+∠ABC.

所以，1/2∠ABC+∠ACB=1/2∠ACB+∠ABC.

即，∠ABC=∠ACB.

（2）如果AD≠AE，則設AD>AE，在AD上截取AE‘=AE，連結IE’。則△AIE‘≌△AIE.

所以，∠AE‘I=∠AEI. IE’=IE=ID.

因此，△IDE‘為等腰三角形，

則有 ∠E‘DI=∠DE’I.

因 ∠AE‘I+∠DE’I=180°，

所以，∠AEI+∠AIE=180°。

因此，（1/2∠ACB+∠ABC）+（1/2∠ABC+∠ACB）=180°。

所以，∠ABC+∠ACB=120°，

從而，∠A=180°－120°=60°。

如果AD

例2 如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于點E，過點E作直線與AF垂直，交AF的延長線點D，且交AB的延長線于點C.

（1）求證： CD與⊙O相切于點E.

（2） 若CE*DE=15/4，AD=3，求⊙O的直徑及∠AED的正切值。

教學引導： （1）證OE⊥CD.

（2）要求⊙O的直徑，可先求半徑OE.

因OE∥AD，所以有OE/AD=CO/CA，AD=3，CO，CA都與BC及OB，AB（⊙O的半徑，直徑）有關。

所以，求得BC即可以求出OE.如何求BC呢？能否利用CE*DE=15/4這個條件？

讓學生去探討。

附解答過程： （1）略。（2）過點D作DG∥AC，交AE的。 延長線于點G，連結BE，OE，則∠BAG=∠G，∠C=∠EDG.∵CD與⊙O相切于點E，

∴∠BEC=∠BAG.

∴∠BEC=∠G. ∴△BEC∽△EGD. ∴DE/CB=DG/CE.

∴CB*DG=DE*CE.

∵∠BAG=∠DAG=∠G. ∴AD=DG=3. 又∵CE*DE=15/4. ∴CB=5/4.

由（1）得OE∥AD， ∴CO/CA=OE/AD. 設OE=x （x>0）， 則CO=5/4+x=（5+4x）/4，

CA=5/4+2x=（5+8x）/4， ∴（5+4x）/（5+8x）=x/3. 整理得8x2-7x-15=0. 解得x1=-1（舍去），x2=15/8. ∴⊙O的直徑為15/4， ∴CA=CB+BA=5.由切割線定理，得 CE2=CB*CA=25/4， ∴CE=5/2， ∴DE=15/4*1/CE=3/2.

在Rt△ADE中，tan∠AED=AD/DE=2. 例3 某公司在甲，乙兩座倉庫分別有農用車12輛和6輛，現需要調往A縣10輛，調往B縣8輛。已知從甲倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元；從乙倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元。

（1）設從乙倉庫調往A縣農用車x輛，求總運費y的關于x的函數關系式；

（2）若要求總運費不超過900元。問共有幾種調運方案？

（3）求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少元？

教學引導：

（1）先把題目的數量關系弄清楚。

引導學生把本題數量關系表格化：

（2）引導學生寫出y與x的函數關系式后，運用函數的性質解答題目的后兩問。

附解答過程：

解： （1）y=30x+50（6-x）+40（10-x）+80（2+x）=20x+860.

（2）20x+860≤900，x≤2，∵0≤x≤6，∴0≤x≤2.

因為x為非負整數，所以x的取值為0，1，2.

因此，共有3種調運方案。

（3）因為y=20x+860，且x的取值為0，1，2.由一次函數的性質得x=0時，y的取值最小，y最小=860（元）。此時的調運方案是：乙倉庫的6輛全部運往B縣，甲倉庫的2輛運往B縣，10輛運往A縣，最低費用為860元。

評議： 本題運用函數的思想，可以給解題帶來了簡便。

第三類 開放性，探索性數學難題。

無論是開放性還是探索性的數學難題，教學重點是教會學生把握問題的關鍵。

例1 請寫出一個圖象只經過二，三，四象限的二次函數的解析式。

教學點撥： 二次函數的圖象只經過二，三，四象限，就是不能經過第一象限，即當x>0時，y<0.什么樣的解析式的二次函數必有x>0時y<0呢？這是問題的核心。

（答案：當二次函數y=ax2+bx+c中a，b，c都為負時，必有x>0時，y<0，如：y=-x2-2x-3）

例2 已知： 如圖，AB，AC是⊙O的兩條弦。且AB=AC=1，

∠BAC=120°，P是優弧BC上的任意一點，

（1）求證：PA平分∠BPC，

（2） 若PA的長為m，求四邊形PBAC的周長，

（3）若點P在優弧BC上運動時，是否存在某一個位置P，使S△PAC=2S△PAB？若有，請證明；若沒有，請說明理由。

教學引導： （2）因為AB=AC=1，PA=m，由（1）可證∠APB=∠APC=30°，因此，∠AOB=60°所以OA=OB=AB=1，而AP=m，以A為圓心，以m為半徑作弧與圓相交一般有兩個交點（若m=2，AP為圓的直徑則只有一個交點）。因此，PB和PC是變的，但變化只有兩個位置，PB+PC應該不變。求出PB+PC就可以求四邊形PBAC的周長。把PB和PC組合在一起求出來是這問題的關鍵。（3）這問題的關鍵是如何確定點P.這可以由三角形PAC和三角形PAB的面積關系推出。P （解題要點： （1）略。 （2）延長PC至P‘，使CP’=BP，連結BC，求出BC，證明△PAB≌△P‘AC，得AP’=AP，證明△ABC∽△APP‘，用對應邊的比例關系可以求出PP’即PB+PC.（3）連結BC交PA于點G，過B作BM⊥PA，過C作CN⊥PA，垂足分別為M，N.證明△BGM∽△CGN，得BG/CG=BM/CN=S△PAB/S△PAC=1/2.所以過點A和點G作射線與⊙O的交點，就是符合題目條件的點P的位置。） 第四類 新題型（近年全國各地初中會考中才出現的題型） 初中會考題型再新也離不開初中的基礎知識，所以解這類題的關鍵是從題意中找到與題目相關的基礎知識，然后，運用與之相關的基礎知識，通過分析，綜合，比較，聯想，找到解決問題的辦法。

例1 如圖一，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖。經過多年開墾荒地，現已變成如圖一所示的六邊形ABCMNE，但承包土地與開墾荒地的分界小路（即圖一中的折線CDE）還保留著。張大爺想過點E修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多。請你用有關的幾何知識，按張大爺的要求設計出修路方案。（不計分界小路與直路的占地面積）

（1）寫出設計方案，并在圖二中畫出相應的圖形；

（2）說明方案設計理由。

教學引導：

如圖二， ，試過E作一直線EHF，交CD于H，交CM于F， 按題意，要使EABCF的面積=EABCD的面積，且使EDCMN的面積=EFMN的面積（滿足張大爺的要求）。 即要使三角形EHD的面積=三角形CHF的面積。這要怎樣的條件？（答案： 連結EC，過D作DF∥EC交CM于點F，EF就是張大爺要修路的位置。）

評議： 本題是實際應用題，其相關的基礎知識是梯形的一些性質： 如下圖，

梯形ABCD中，AB∥CD，有三角形ADC的面積=三角形BCD的面積，都減去三角形CDO的面積，即得三角形ADO的面積=三角形BCO的面積。能聯想到這知識是解決本題的關鍵。

例2 電腦CPU芯片由一種叫 “單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫 “晶圓片”。現為了生產某種CPU芯片，需長，寬都是1cm的正方形小硅片若干。如果晶圓片的直徑為10.05cm.問一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張？請說明你的方法和理由。（不計切割損耗）

教學引導： 本題人人會入手做，但要按一定的順序切割才能得到正確答案。

方法：（1）先把10個小正方形排成一排，

看成一個長條形的矩形，這個矩形剛好能放入直徑為10.05cm的圓內，如圖中矩形ABCD.

∵AB=1，BC=10，

∴對角線AC2=102+12=100+1=101<10.052.

（2）在矩形ABCD的上方和下方可以分別放入9個小的正方形。

這樣新加入的兩排小正方形連同ABCD的一部分可以看成矩形EFGH，其長為9，高為3，對角線EG2=92+32=81+9=90<10.052.但新加入的這兩排小正方形不能是每排10個，因為102+32=100+9>10.052.

（3）同理，∵82+52=64+25=89<10.052，而92+52=81+25=106>10.052.

所以，可以在矩形EFGH的上面和下面分別再排下8個小正方形，那么現在小正方形已有5層。

（4）再在原來的基礎上，上下再加一層，共7層，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的這兩排，每排都可以是7個但不能是8個。

∵72+72=49+49=98<10.052

而82+72=64+49=113>10.052.

（5）在7層的基礎上，上下再加入一層，新矩形的高可以看作是9，每排可以是4個，但不能是5個。∵42+92=16+81=97<10.052，而52+92=25+81=106>10.052.

現在總共排了9層，高度達到了9，上下各剩下約0.5cm的空間，因為矩形ABCD的位置不能調整，故再也放不下1個小正方形了。

所以，10+2*9+2*8+2*7+2*4=66（個）。

評議： 本題解題的關鍵是①一排一排地放小正方形，②利用圓的內接矩形的對角線就是圓的直徑的知識。

可能我們都有這樣的經驗： 我們講解難題的時候，學生都能理解，但讓學生再做另外一些難題的時候，學生又做不出來。這是因為，我們只是把結果告訴學生，學生解題的思維方式沒有得到訓練。在難題的教學中，我們不能只把結論告訴學生，更重要的是要讓學生知道解題的思維方式，我們不要急于把題目的解法告訴學生，應當引導學生自己去解題，在解題的過程中尋找解題思路以及訓練思維能力和創新能力，這也是新課標的要求；我們應當把教學重點放在訓練學生解題的思路上，在引導學生尋找解題思路的這一過程之中，使學生找到開鎖的鑰匙。

參考資料：

1.<<初中數學復習專輯>>（<<中學數學研究>>2003年10月）。

2.<<廣州市中考數學試題分析與測評>>（廣州市中學數學教研會編）。

3.<<2004年廣州市高中階段學校招生考試指導書（數學）>>（廣州市教育局教研室）。

4.<<中學數學思想方法概論>>（主編 王林全 副主編 林國泰）。