律學曾一度被學術界稱為絕學，它是音樂聲學、數學和音樂學互相滲透的一種交叉學科。“律”是構成律制的基本單位，當各律在音度上有了精密的規定，形成一種體系時，便稱為“律制”。古今中外，律制包括三分損益律、五度相生律、新律、純律、十二平均律等等，筆者認為想要更合理地研究律學，可以通過三種途徑來研究：各種律制的生律方法；各種律制的數字基礎；各種律制發展變化的動力和過程。利用這三種途徑可以在橫向、縱向上基本涵概律學發展變化的基本內容。

一、各種律制的生律方法

不同的律制由不同的生律方法決定而生律法則與所選擇的音程及其計算方法相關，隨著科學技術的不斷進步，生律方法也隨著相關科學的發展而趨于合理和完善。生律方法有三種：古代，根據(管、弦)的長度比例關系來計算；近代，根據音程的頻率比來計算；現代，根據音高的音程值來計算。

(一)古人通過發音體(管、弦)的長度比例關系來理解并計算音程，長度比以較高音的長度：較低音的長度為標準。例如：相距純五度的兩音發音體的長度，較高音的長度與較低音的長度的比是2：3；相距純四度，其長度比是3：4；相距純正協和的大三度，其長度比是4：5。這些數在古代中國、希臘都作為長度比用以計算音程，利用這些長度比值來計算音程的主要律制有五度相生律、三分損益律等等。

1、以純五度、純四度兩種音程為生律法的依據而建立的律制，稱為五度相生律，這是古希臘按照畢達哥拉斯定律所建立的律制。畢達哥拉斯學派認為當一根弦被縮短到原長度的一半，撥動時發出的音調就與原來的音調構成一個八度音程。類似的，如果長度比是2：3和3：4，對應的則是五度和四度音程。但是五度相生律所訂出的七個基本音級間的音高關系，和十二平均律中七個基本音級的音高關系是不同的。雖然EF、BC之間為半音，但比十二平均律中的半音要小，其余相鄰兩音級之間雖然也為全音，但比十二平均律中的全音要大。這種音高的差異就是由于定律方法的不同而產生的，因此，其后的律學家為發現更合理、更完善的律制而努力探索。

2、公元前6世紀，當古希臘哲學家畢達哥拉斯用數學方法計算出被西方尊為“音律學之祖”的理論——五度相生律時，我們的先祖管仲已在《管子·地員篇》中提出“三分損益生五音”的論斷，即“三分損益律”，其原理核心內容與“畢律”分毫不差，但它比西方的五度相生律早了近百年。

三分損益律和五度相生律一樣都是根據振動物體的長度來計算的，三分損益律的具體算法是在弦張力相同的情況下，要求已知音上方純五度音，將發出該音的弦長減去三分之一；要求已知音下方純四度音，將發出該音的弦長增加三分之一。振動體三分損一所發之音，比原長所發之音高純五度；三分益一所發之音比原長所發之音低純四度。如此繼續相生而得十二律。按八度同音關系，清黃鐘與黃種本律弦長之比應為1：2，清黃鐘與黃種本律弦長之比不是1：2，并且清黃鐘音分值應為1200音分，而仲呂繼續三分損益，得到清黃鐘，比黃鐘本律高24音分，因此它是不平均律，旋宮轉調不完滿，暴露出十二律不能回歸本律和無法“周而復始”地旋宮轉調的問題。

(二)近代，人們開始從單位時間內的振動數，即頻率的角度出發，以更精密的方法來研究音高，因此，音程的關系也通過頻率比來理解和計算，由于頻率與長度成反比，建立比例式時只要高低音在前后項的位置顛倒過來，所得的比例數就完全相同。例如相距純五度的兩個音，較高音的長度與較低音的長度之比是2：3，那么較高音的頻率與較低音的頻率之比是3：2或3／2；相距純四度，頻率比為4：3；相距純正協和的大三度，其頻率比為5：4。因此，古代所用的比例數仍然有效，只是對于數字所代表的兩音的高低作了相反的解釋，同樣這些數字也就成了頻率比了。

(三)無論用長度比、還是頻率比，都有內部的缺陷。隨著數學的發展，19世紀開始將對數引進到音程計算當中，建立了“音程值”的概念。有了音程值之后，音程的大小就可一目了然了。

任何律制中的任何音程的音分數都可根據頻率比通過常用對數算得：先求出比例常數，再把各音程的頻率比的常用對數乘以比例常數即得。

各國現多以“音分”為音程值的單位，此為英國數學家兼比較音樂學家埃利斯所創用。八度音程值為1200音分，每個平均律半音為100音分，這對于轉變調高是非常方便的，而五度相生律則是“大全音”204音分，“小半音”90音分，很難進行自由轉調。

二、各種律制的數字基礎

在古希臘，畢達哥拉斯學派認為數學的作用與價值是其宇宙觀的重要內容。音樂、幾何、雕塑、天文、地理以及建筑方面都可見到數學的作用，尤其是整數發揮的作用，他們認為宇宙間一切現象都可歸結為整數或整數之比。在數學史上，關于整數及其性質的研究也是幾千年常盛不衰的，這表明推崇整數作為一種文化傳統的存在。但人們已經發現五度相生律、三分損益律以及純律內部的缺陷和不能旋宮轉調的問題。為了達到調試的任意旋宮，引入無理數是必要的。中國最早提出十二平均律的明朝皇族樂律學家朱載墑(1536--1610)則執著地認為樂律之正誤就是在于頻率比是否除得盡：“有奇是以密，無奇是以疏”，由無理數產生的除不盡的頻率比才是密律，是精確的樂律。

十二平均律是各相鄰律(即半音)之間其頻率比都相均等的一種律制，朱載墑的算法是將2開十二次方所得到的弦長倍數(1．059463)，即“頻率倍數”，把這個數連續自乘十二次，就分別產生十二平均律各律的頻率倍數，而乘到第十二次，就達到2(八度)，即黃鐘還原了。朱載堉的貢獻在于徹底解決了我國律學史上長期不能解決的黃鐘還原的難題。

三、各種律制發展變化的動力——解決旋宮轉調問題

古今中外，從事和研究音樂的人們，在長期的音樂實踐過程中，發現五度相生律、純律、三分損益律等樂律內部存在的缺陷——不能旋宮轉調的問題，這就是各種律制發展的動力，無數律學家為了尋求可以隨意旋宮的律制而努力探索，因此，揭開了長達幾千年尋求理想的平均律的歷史篇章。

所謂旋宮就是說當音樂運作中發生調式改變時，新音階與基本音階能否吻合的問題。拿五度相生律的十二聲音階為例，五度相生律所訂出的七個基本音級中EF、BC半音比十二平均律中的半音要小，其余相鄰兩音級之間比十二平均律中的全音要大。這種音高的差異就是由于定律方法的不同而產生的，當主音改變時，原有的十二聲音階將不能使用，不能達到調式的隨意平移，這只需解一道簡單的數學題：使十二聲音階具有相同的頻率比，然而，問題的解決卻經過了長期的探索研究。

與西方古代音樂相比，中國古代音樂起點高，成就大，千百年來，人們對樂律的研究從來就沒有中斷過。

三分損益律是我國最早的樂律理論，由它定出的樂音純正悅耳，迄今人們還在使用。但三分損益律是一種不平均律，它所形成的古代大全音204音分，較十二平均律的全音為大，古代小半音90音分，較十二平均律的半音為小。因此，就出現了仲呂無法還生黃鐘本律的現象，暴露出十二律不能“周而復始”地旋宮轉調的問題。由此也揭開了中華民族長達兩千多年之久的尋求平均律的歷史序幕。

從此以后，西漢律學家京房，利用“三分損益法”從第十三律起繼續往下推算，直至第六十律，他把三分損益法還生本律的音差值由23．5音分縮小至3．6音分。但是，京房六十律并不是十二平均律，依然不能夠隨意轉調，并且它的實用價值不高；南朝太史錢樂之在“京房六十律”的基礎上繼續用“三分損益法”往下生律，一直生至第三百六十律。他把還生黃鐘本律的音差數縮小為1．845音分，但是，他算出來的三百六十律沒有應用價值，并且使求解十二平均律的探索步入了“山窮水盡”的困境；南朝宋人何承天不同意京房采用加律的方法來解決音差問題，而是主張在十二律內部加以調整，創造了十分接近十二平均律的“新律”。具體方法是：先以黃鐘本律之數(設為9寸)減去仲呂所生黃鐘之數(依三分損益法計算11次得到8．8788寸)，得差數0．1212寸。再將此差數平分為十二等分，即0，1212÷12＝0．0101，然后將此數依次遞加在林鐘以下各律上。何承天的新律，就其效果而言，已相當接近十二平均律了。何承天最早從理論上解決了黃鐘還原的問題，但新律是按弦長而非按頻率比計算的，因此仍不是真正的十二平均律。

直至明朝中葉，皇族世子朱載墑揭開了劃時代的一幕，他發明以珠算開方的辦法，求得律制上的等比數列，從而得到真正的十二平均律，且黃鐘正好還原，可以隨意旋宮轉調。

十二平均律以其精密的計算最終解決了古代中外“畢”“管”兩位“樂律學之祖”留下的千古缺憾，近兩千年中外律學家鍥而不舍的追求目標，他第一次解決了十二律自由旋宮轉調的千古難題，從而實現了利用等比數列方式將一個純八度的振動體均勻地分為12份比值相等的“十二平均律”原則。這是音樂文化史上最早出現的“十二平均律”律學理論，這一偉大發明對于中國乃至世界都具有深遠的影響。

綜上所述，律學是音樂聲學、數學和音樂學互相滲透的一種交叉學科，我們研究律學，應該合理把握其間的交叉關系，為研究樂律、分析樂律服務。但是嚴格的數學推導不能精確發現音樂的本質，歷史證明尋求更完善的樂律不能單純用數學方法去計算，并且律學與數學有著非常復雜的關系，我們必須清醒地認識到，我們要研究的是音樂而不是數學，要避免盲目的“以數求音”的錯誤觀點。

[1]楊傳中著《朱氏十二平均律及其西傳》淮南師范學院學報，2003年第2期

[2][3][6]趙宋光、韓寶強著《中國大百科全書·音樂舞蹈卷》，中國大百科全書出版社，1989年

[4][5][7]黃力民著《和諧性：三種樂律的比較研究》，湘潭礦業學院報1994年第1期

[8]孫繼南、周柱銓著《中國音樂通史簡編》，山東教育出版社，2000年

[9]楊傳中著《朱氏十二平均律及其西傳》，淮南師范學院學報，2003年第2期