【摘要】 醫用高等數學作為醫科類學生必修基礎課程，一方面其專業理論知識已滲透到各種科研工作中，成為科研工作必不可少的基礎工具;另一方面其解決問題的思想和方法，促使學生養成嚴謹辯證考慮問題的習慣，培養了學生抽象思維的能力。醫學類高校數學課程普遍學時短，存在重理論、輕應用的特點。如何在較短的學時內，提高教學質量，培養學生學習高等數學的同時會用高等數學解決實際問題的能力，是各醫科類高校數學教師都在思考的難題。根據教學實踐與經驗，在教學中融入數學建模的思想，將抽象的數學問題與實際醫學問題結合是一個有效的途徑。

【關鍵詞】 醫用高等數學;數學建模

1 引言

馬克思說過，一門科學，只有當它成功地運用數學時，才能達到真正完善的地步。20世紀以來，數學向醫學領域的不斷滲透，推動了醫學向更深層次的發展，不斷有新的科學分支出現，如生物數學、數理診斷學、細胞動力學、病理過程的模擬及決策分析等。數學作為工具應用于醫學中生命系統重要特征的研究，更深刻地揭示出了生命系統中每個細胞、有機體隨時間不斷變化的特征與規律。

醫學院校的學生要掌握醫用高等數學這門工具，不僅要掌握其理論知識，更重要的是要會用，要具備將其作為一項技能與輔助工具解決實際醫學問題的能力。數學教育應該培養學生兩種能力：“算數學”(計算、推導、證明…)和“用數學”(實際問題建模及模型結果的分析、檢驗、應用)。

數學建模是應用數學知識與計算機解決醫學中諸多實際問題的一種有效工具。例如：生物醫學專家若掌握了藥物濃度在人體中隨時間和空間變化的數學模型，就可以用來分析藥物的療效，從而有效指導臨床用藥。

2 為什么要在醫用高等數學中融入數學建模思想

醫用高等數學課程主要內容微積分具有將復雜問題歸納為簡單規劃和步驟的非凡能力，迄今已獲得相當大的成功。但是由于微積分形式抽象及大量符號語言的使用與人們的直接生活距離較大，給醫用高等數學的教與學帶來了很大的障礙和困難。

醫學院傳統的高等數學教學過分注重數學的抽象定義、定理的證明，而與現實結合很少。這一學科在學生眼中成為一些規劃與步驟，而對其本身的價值缺乏認識，造成相當多的學生覺得數學抽象難學、枯燥無味，從而愈來愈失去興趣。這對于培養有競爭與創新能力的學生來講是十分不利的。

而數學建模正是這樣一門學科，它將復雜的實際問題劃歸為數學問題，應用數學理論和方法或編程計算對模型進行分析從而得到結果，再返回去解決現實問題。它建立了一座從理論到現實的橋梁。

3 如何融入數學建模思想

3.1 讓學生認識高等數學的重要性

迫于學時壓力，我們大多數醫學院數學教師在第一堂課直接“切入主題”，開始第一章內容的講解。我們忽略了高等教育與初等教育的區別。高等教育不是簡單地在課堂上將知識灌輸給學生，更多地是要引導學生合理安排課堂之外的時間自主學習，激發學生去發掘，去創新。通過以往的經驗，我們發現學生由于缺乏對高等數學與醫學結合日益緊密的認識，學生學習的目標盲目，在遇到難題的時候往往缺乏知難而進的精神。

在緒論課上，醫學院校的數學教師，首先要將一些數學與醫學最新結合的動態傳遞給學生。如醫學上CT的發明獲得1979年諾貝爾獎，其數學基礎就是二維Rodan變換，1985年醫學諾貝爾獎也是由建立了“免疫網絡系統”的瑞典數理醫學專家Jerne獲得。隨著在完整基因組、功能基因組、生物大分子相互作用及基因調控網絡等方面大量數據的積累和基本研究規律的深入，生命科學正處在用統一的理論框架和先進的實驗方法來探討數據間的復雜關系，向定量生命科學發展的重要階段。醫學科研問題，與數學聯系越來越緊密。

留出第一節課，讓學生了解數學應用于醫學研究的最前沿的知識，而不是僅僅停留在抽象的數學符號、公式、定理的表面，讓學生認識其重要性，培養學生興趣，激發其自主學習的動力，這一點是十分必要的。

3.2 將醫學模型引入課堂教學

應用數學模型研究生命科學與臨床醫學中的一些課題已越來越受到重視。將醫學模型引入課堂教學，有助于學生將數學與自己的專業知識聯系在一起學習，對數學的認識不再停留于抽象的理論。如：

例1 恒速靜脈滴注多次給藥一室模型血藥濃度計算

設k0是靜脈滴注速率， k是一級消除率，τ0 是滴注時間，c(t)t 是t 時刻體內血藥濃度，V 是表觀體積，靜脈滴注過程服從如下一室藥物動力學模型[1]：

dc(t)dt=k0V-kc(t)， 0≤t≤τ0

dc(t)dt=-kc(t)， t≥τ0

c(0)=0(1)

若考慮以24 h為一個治療時段，由(1)式可解得第一次靜脈滴注后體內的血藥濃度為[2]：

c(t)=A(1-e-kt)， 0≤t≤τ0

c(τ0)e-k(t-τ0)， τ0≤t≤24(2)

其中 A=k0kV=k0Clt(3)

Clt 為藥物的清除率。

若dn 為第n 次靜脈滴注與第n-1 次靜脈滴注間隔的天數(n=2，3，…) 。由(1)式及(2)式可推導出第n 次靜脈給藥后體內的血藥濃度為[2]

c(t)=A-[A-c(24dn-1)]e-k(t-24dn-1)， 24dn-1≤t≤24dn-1+τ0

c(24dn-1+τ0)e-k(t-24dn-1-τ0)， 24dn-1+τ0≤t≤24dn(4)

臨床中很多疾病需采用不同藥物交替治療，各種藥物在組織與血液中血藥濃度也不同，醫生采取什么樣的用藥方案直接影響治療結果。例如小兒重癥支原體肺炎治療方案的涉及一直是臨床關注的問題。文獻[2]的作者在進一步的研究中以小兒重癥支原體肺炎的治療問題為背景，根據其療程的要求和恒速靜脈滴注多次給藥一室模型給出四種用藥方案，并根據計算出的4種給藥方案的血藥濃度，繪制藥時曲線，給出其相應的平均穩態血藥濃度和有效治療時間，為依據臨床表現，選擇最優的治療提供了可供參考的方案。

我們嘗試在每章數學知識介紹的同時穿插個別典型醫學應用模型，個別數學模型作為課后輔助研讀材料[3]，如下：

第一章 函數、極限與連續

藥物的吸收模型、藥物在體內的殘留量模型、簡單的腫瘤生長模型(判斷已知生長規律函數的腫瘤是否會無限制長大)、化學反應物質的量。

第二章 導數與微分

微分在心輸出量誤差估計中的應用模型、種群增長變化率模型、病菌繁殖速度模型。

第三章 中值定理與導數應用

小血管的軸流問題，咳嗽問題的數學模型，導數在求醫學中一些極值問題時的應用模型(血藥濃度何時達到最大、睡眠時氣管中氣流何時流速最大)。

第四章 不定積分，第五章 定積分

單位時間內血流量、心臟輸出血量的控制、血流速、心臟輸出量的測定、呼出或吸入空氣的速度、主動脈壓。

第六章 多元函數微積分學

尿素清除率的誤差估計、利用已知樣本數據和最小二乘法擬合血硒和發硒的經驗公式、利用已知數據和最小二乘法擬合血藥濃度和時間的關系式、藥物穩定性及疾病診斷模型、糖尿病診斷模型。

第七章 常微分方程

給藥模型、靜脈輸液問題、死亡生物體內C14 變化規律、血液流速、種群生長模型、人口模型、流行病學模型、減肥問題的數學模型、藥物動力學房室模型(快速靜脈注射模型、口服或肌肉注射模型)、SARS傳染病模型。

由于各種病毒潛伏期、傳播途徑、變異與否及生物體是否產生抗體等因素不同，在介紹了經典的傳染病模型之后，引導學生思考H1N1病毒傳播的數學模型。

第八章 無窮級數

藥物在體內的殘留量。

面向不同專業的學生我們根據其未來的發展方向介紹不同的應用模型，如醫學信息管理專業的學生我們更多引入醫院管理中所涉及到的規劃、預測、決策模型，并會用計算機模擬求解。我們也可適當引入應用高等數學知識的社會熱點問題模型，如高校學費收費標準，核廢料處理，H1N1傳播規律與控制等問題，引導學生自主思考，學會建模。這也無形中提高了學生科研創新的能力。

3.3 將數學建模軟件引入課堂教學

計算機技術和數學軟件的迅速發展，為數學建模的應用提供了強有力的工具。SPSS、SAS等數學統計軟件從凌亂的數據中找到規律，Mathematica、Matlab、Maple、Lindo、Lingo等常用數學建模軟件不僅可處理繁瑣的計算，其強大的繪圖功能也豐滿了我們的課件，將抽象的符號直觀地呈現。

例如，Matlab將高性能的數值計算和可視化集成在一起，提供了大量的內置函數，被廣泛地應用于科學計算、控制系統一集信息處理等領域的分析、仿真和設計工作。它強大的數學函數庫，包括了一系列基本的數學函數。利用Matlab可以進行高等數學中的極限計算、導數微分計算、積分計算、常微分方程求解以及級數計算。

例2 求解微分方程組的通解和特解[4]

2dxdt+dydt-y=e-t

dxdt+x+y=0，

其中初始條件：x(0)=1.5，y(0)=0 。

首先求解微分方程的通解：

>> s=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0');%求解的微分方程組的通解

>> s.x %微分方程組變量x的通解

ans =

-C1*exp((1+2^(1/2))*t)-C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+1/2*C1*exp((1+2^(1/2))*t)*2^(1/2)-1/2*C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)*2^(1/2)-1/2*exp(-t)

>> s.y %微分方程組變量y的通解

ans =

C1*exp((1+2^(1/2))*t)+C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

然后根據初始條件，求解微分方程組的特解：

>> s=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0'，'x(0)=1.5'，'y(0)=0');%微分方程組在給定初始條件下的特解

>> s.x

ans=

-2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)+2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+exp((1+2^(1/2))*t)+exp(-(2^(1/2)-1)*t)-1/2*exp(-t)

>> s.y

ans=

2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)-2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

%或者使用下面的命令直接獲取x，y的特解

[x，y]=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0'，'x(0)=1.5'，'y(0)=0')

得到

x =

-2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)+2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+exp((1+2^(1/2))*t)+exp(-(2^(1/2)-1)*t)-1/2*exp(-t)

y =

2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)-2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

Mtalab還提供了豐富的圖形表示方法，使得數學計算結果可以方便、多樣性地實現可視化，從而可以直觀地觀察數據之間的內在關系。Matlab圖像處理工具箱和自編函數可以方便快捷地對醫學圖像進行各種處理，使用者可根據臨床需要自行建模與仿真，為臨床教學與科研提供了很好的處理工具。

例3 利用Matlab特殊圖像顯示技術顯示多幀核磁共振圖像[4]，代碼如下：

%定義一個4維矩陣，用來存儲27幅核磁共振圖像

>>mri=uint8(zeros(128，128，1，27));

%循環讀出多幀圖像中的每一圖像

for frame=1:27

[mri(:，:，:，frame)，map]=imread('mri.tif'，frame);

End

%多幀顯示

>> montage(mri，map)

其運行結果如下： Mtalab制作的圖形使我們的CAI課件更加形象生動，激發了學生學習的興趣，另一方面還可培養學生對醫學圖像處理和加工的能力。圖像變換功技術在圖像增強、圖像恢復和有效地減少圖像數據、進行數據壓縮以及特征提取等方面都有著十分重要的作用。Matlab提供的快速傅立葉變換函數和離散余弦變換函數(DCT)等在對圖像效果增強、圖像分析、圖像復原和圖像壓縮等方面應用廣泛。

3.4 融入醫學建模實例的高等數學教材編寫

緊密跟隨醫學與生命科學發展的腳步，編寫包含最新科研成果的醫用高等數學教材也是我們醫科院校高等數學教師積極不懈所奮斗的一個方向，這也無形中要求我們改變知識結構，拓寬知識面，多學習醫學知識，與醫學類教師多交流合作。

4 結語

我們通過選取個別專業班級(醫學信息技術、生物醫學工程和臨床醫學)作為試點，不斷嘗試和改進教學方法，并起到了良好的效果。試點班級學生課堂表現活躍，課下積極思考，并踴躍參加全國大學生數學建模競賽。我們發現，要培養高素質的醫學人才，醫用高等數學作為基礎課程必須與應用緊密結合，這就要求我們將數學建模的思想和方法結合計算機的模擬求解巧妙融入其課堂教學過程。當然提高醫用高等數學的教學質量，需要做的還很多，這將是我們醫學院數學教師要不斷努力和探索的課題。