【摘要】 學生在高等數學的學習中，出現錯誤是在所難免的，有其合理的一面。教師要看到數學學習的過程，本就是一個不斷的探索、修正、提高，升華的過程。充分利用學習過程中的錯 誤，激發學生的認知沖突，引導學生進行反思。把錯誤變成有效的教學資源。

【關鍵詞】 錯誤； 合理性； 認知； 反思

在數學學習中，學生對于知識的理解、掌握乃至應用會出現形形色色的錯誤。隨著近年來現代認知心理學與數學教育哲學研究的深入，對于數學學習中產生的“錯誤”，人們的態度也發生了轉變：從以前的純粹否定轉而對“錯誤”的類型進行理解和分析，并力求去發現其中的積極成分。筆者認為，對于錯誤加以充分的分析和利用，不僅可以使教師及時找出錯誤的原因，掌握學生對相關知識的學習情況，了解他們在認知結構上的成熟度，還可以使“錯誤”成為有效的教學資源，引導并幫助完善、更新認知結構，調控思維方向，進行反思性學習等，達到優化教學的目的。1 高等數學學習中錯誤的合理性1.1 從學習者的角度 李善良先生曾經明確提出在數學概念的學習中可以將錯誤區分為“過程性”合理性錯誤，并指出所謂“合理性”錯誤，“是指學生在數學學習中階段、水平的轉變及不同的個性傾向等所帶來的概念的學習障礙而造成的一類錯誤”［1］。這類錯誤具有隱蔽性、長期性，并帶有“合理性”、“規律性”和“不可避免性”。筆者以為，這一論斷可以推廣到數學學習的全過程。 在數學學習的過程中，隨著學習進程的深入，勢必會更新已有的認識經驗，進入新的認知層次，其思維模式和認知結構也必須不斷進行調整和和重新構建。然而，學生在先期學習中的模式、結構以及產生的一些習慣已經穩固地存在他們的頭腦中，所以學習新知識時，由慣性而帶來的一些在思維、認知中的弊端就會凸現出來，形成數學知識學習的障礙而產生錯誤，產生負遷移。建構主義認為，錯誤就是學生利用已有的知識經驗，主動構建的結果，是“意義賦予”的產物。數學學習的過程，本就是一個不斷的探索、修正、提高，升華的過程。由此可見，錯誤是其中不可避免的一個環節。“個體的成長不僅是由于反抗他內部的錯誤性，而且也是依靠他內部的錯誤性”［2］。 通過錯誤的發現和解決，才能構建真正意義上的新知，把認知從已有的不良結構領域向良好結構領域轉變，并進一步補充和完善，從而實現思維的發展。

1.2 從教師的角度 在醫用高等數學的教學中，由于課時緊，教學任務重，（涉及的高等數學知識涉及數學分析、微分方程、線性代數、概率統計等多門高等數學的分支），許多教師常常對學生采用自覺不自覺的采用了大容量、快節奏的“滿堂灌”的授受方式，其結果是導致學生對所學或是知識一知半解、或者體會不深刻，直接導致了最終形形色色的錯誤產生，甚至使學生產生畏難、厭學的情緒。而教師對于學生在數學學習中過程中產生的錯誤不重視，或者視而不見，更有甚者，基本上在課堂上就剝奪了學生“犯錯誤”的機會，只是將正確的、“標準”的答案一再重復，這種方式表面上看是面面俱到，完美無缺，卻不知剝奪了學生犯錯誤的機會，也就是剝奪了學生思考的空間，使得他們失去了體驗數學、感受數學的過程，從而也就失去了真正領悟數學思想方法和豐富情感體驗的機會，是得不償失的。

2 錯誤的意義、價值 錯誤的產生不僅具有合理性的一面，對新知的構建、思想方法的理解還有著重要意義和極大價值的。

2.1 構成認知的沖突，激發求知欲（動機理論） 在學習新知識之前，學生頭腦中已有的知識經驗、認知結構會對新的知識產生影響。學習高等數學以前，學生接觸的大都是初等數學的內容。而初等數學和高等數學由于學習的內容和思想方法的不同（從有限到無限，從一元到多元等等）很多學生不能很快的實現這一轉化，以前的知識結構、思想方法直接遷移或者推廣到高等數學學習中從而產生錯誤。 例如：求極限：limn→∞(1+2+…nn2) ，學生很自然的了解每一項趨于0，一共有多少項呢？不少學生回答：n項。那么結果呢？很多學生熟悉結果，答曰：1/2。或者進行爭論：應該是0 啊！為什么會出現這樣的結果呢？學生自己會反思，得到n→∞ 的結論，自己會發現有限的結論不能直接應用與無限項。這樣構造了認知沖突，比直接闡述告知：“有限個無窮小的代數和仍為無窮小”效果會好許多。 我們可以認為，盡管在學習過程中學生會時常出現這樣那樣的錯誤，從表面上看，教學過程似乎不是那么“完美”。但是，正是這類錯誤導致的矛盾和謬誤，才更能引起學生的懷疑和求知的動力。在這樣的懷疑和沖突中，強烈的求知欲被激發，思維的火花被點燃，他們才能更積極地、主動地、深入地去探索和把握數學知識的本質屬性，調整和構建新的、正確的思維模式和認知結構。也正是通過不斷地“引起認知沖突”，對所產生的懷疑和沖突不斷地加以消除，才能最終促進學生的認知不斷發展和完善。

2.2 促進教學反思 教學反思，是教學活動中極為重要的但往往在實際教學中被忽略了的環節。很多學生不知道反思，或者不知如何進行反思，筆者以為，學習中“錯誤”的出現是進行反思的良好契機。

2.2.1 發現錯誤，反思的最佳時機：學生在高等數學的學習中，出現錯誤是在所難免的。有時候，為了更好的突出或者強調某個重點，教師在必要時可以預設錯誤，有意識地給學生造成思維障礙。而當錯誤出現，學生思維受阻時，就是進行反思的最好時機。 在講解洛必達法則時，學生對limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=limx→af″(x)F″(x)=L 這種形式非常喜歡，往往容易忽視洛必達法則的使用條件。于是教師讓學生判斷：limx→∞x+cosxx=limx→∞1-sinx1=limx→∞(1-sinx) 是否正確，是否可以說極限不存在，洛必達法則失效？在學生議論、爭論時，教師適時地加以引導，讓他們反思定理的使用條件，印象會更加深刻。 例如：求證 sin(x2sin1x) 是x的高階無窮小，很多學生會給出這樣的證明：

2.2.2 糾正錯誤，反思思維的靶向性： 出現了錯誤，及時進行反思，以調整自己的思維，這一策略隨著教學的推進，很多學生也逐漸意識到其重要性。如何解決和糾正錯誤，就涉及到反思的方向問題。但是反思什么，如何反思，怎樣調整思維策略，具體的方向怎樣，是他們所不知道的。教師要在此時，結合具體的例子，具體的分析，引導或者幫助學生掌握一定的思考方向，減少活動的盲目性、試誤性，增加成功的概率，即所謂靶向性的養成，形成良好的思維習慣，優化思維品質。 例如：判斷：若f(x)在閉區間上有原函數F（x），問f(x)是否可積？ 對于這樣的問題，很多學生理所當然的認為有原函數就是可積，兩者是等價的。當教師給出否定的答案時，他們顯得茫然無措，不知道所以然，更不知遇到此類問題應該從哪個方向思考。由于課時的原因，我們直接給出了反例，可以說明函數具有原函數和可積是沒有必然聯系的。 f(x)=2xcon1x2+ 2xsin 1x2， x∈(0，1］ 0，x=0 而：F(x)=f′(x)=x2sin1x2， x≠0 0， x=0 但是學生僅僅記住或者知道這個結論是沒有任何意義的。于是引導學生思考什么是原函數?可積是在什么時候提出的概念？ 錯誤的結果使學生激起了探索、求知的欲望，在教師層層推進的問題中，學生逐漸明確了思維方向，及時調整、改進了自己的思維策略，使得思考更有針對性，促進學生對自我認知的調控。

2.2.3 回顧錯誤的解決過程，形成反思習慣：一個數學問題解決后，并不意味著活動的結束，學習者要回顧整個問題的解決過程，分析錯誤產生的原因，是因為認知結構的不夠完善，還是由于錯誤的、不充分的信息的加入，包括所涉及的知識點和數學思想方法，學生自己的思考過程中的方向問題，力求甄別出認知結構中結構良好的領域以及需要完善的領域等等，形成良好的反思習慣。 此外，除了引導學生及時地進行反思性學習外，教學反思還應該包括教師對教學的全過程的反思。教師的反思應該著眼于針對相關知識進行的教學設計、學生的學情，教學實施的具體過程以及結果進行反思。在錯誤發生時以及課程結束后，教師也要根據學生出現的具體情況，積極進行自我反思：包括教學的過程是否和教學的設計相符合，調控，學生出現錯誤是由于強調的不夠還是偶爾的疏忽，甚至是自己理解的偏差，以后的教學還需要在哪些方面作出調整等。同時，及時準確的發現錯誤、識別錯誤，甚至有意識地預設錯誤，或者把錯誤引而不發以給學生自己改正錯誤的機會等等，無一不對教師自身提出了更高的要求。教師要不斷的提高自身的修養，力求使教學水平不斷提高。

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