【摘要】 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)作為醫(yī)科類學(xué)生必修基礎(chǔ)課程，一方面其專業(yè)理論知識(shí)已滲透到各種科研工作中，成為科研工作必不可少的基礎(chǔ)工具;另一方面其解決問題的思想和方法，促使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)辯證考慮問題的習(xí)慣，培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維的能力。醫(yī)學(xué)類高校數(shù)學(xué)課程普遍學(xué)時(shí)短，存在重理論、輕應(yīng)用的特點(diǎn)。如何在較短的學(xué)時(shí)內(nèi)，提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同時(shí)會(huì)用高等數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，是各醫(yī)科類高校數(shù)學(xué)教師都在思考的難題。根據(jù)教學(xué)實(shí)踐與經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想，將抽象的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際醫(yī)學(xué)問題結(jié)合是一個(gè)有效的途徑。

【關(guān)鍵詞】 醫(yī)用高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模

1 引言

馬克思說過，一門科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才能達(dá)到真正完善的地步。20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)向醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的不斷滲透，推動(dòng)了醫(yī)學(xué)向更深層次的發(fā)展，不斷有新的科學(xué)分支出現(xiàn)，如生物數(shù)學(xué)、數(shù)理診斷學(xué)、細(xì)胞動(dòng)力學(xué)、病理過程的模擬及決策分析等。數(shù)學(xué)作為工具應(yīng)用于醫(yī)學(xué)中生命系統(tǒng)重要特征的研究，更深刻地揭示出了生命系統(tǒng)中每個(gè)細(xì)胞、有機(jī)體隨時(shí)間不斷變化的特征與規(guī)律。

醫(yī)學(xué)院校的學(xué)生要掌握醫(yī)用高等數(shù)學(xué)這門工具，不僅要掌握其理論知識(shí)，更重要的是要會(huì)用，要具備將其作為一項(xiàng)技能與輔助工具解決實(shí)際醫(yī)學(xué)問題的能力。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生兩種能力：“算數(shù)學(xué)”(計(jì)算、推導(dǎo)、證明…)和“用數(shù)學(xué)”(實(shí)際問題建模及模型結(jié)果的分析、檢驗(yàn)、應(yīng)用)。

數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與計(jì)算機(jī)解決醫(yī)學(xué)中諸多實(shí)際問題的一種有效工具。例如：生物醫(yī)學(xué)專家若掌握了藥物濃度在人體中隨時(shí)間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，就可以用來分析藥物的療效，從而有效指導(dǎo)臨床用藥。

2 為什么要在醫(yī)用高等數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課程主要內(nèi)容微積分具有將復(fù)雜問題歸納為簡(jiǎn)單規(guī)劃和步驟的非凡能力，迄今已獲得相當(dāng)大的成功。但是由于微積分形式抽象及大量符號(hào)語言的使用與人們的直接生活距離較大，給醫(yī)用高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)帶來了很大的障礙和困難。

醫(yī)學(xué)院傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過分注重?cái)?shù)學(xué)的抽象定義、定理的證明，而與現(xiàn)實(shí)結(jié)合很少。這一學(xué)科在學(xué)生眼中成為一些規(guī)劃與步驟，而對(duì)其本身的價(jià)值缺乏認(rèn)識(shí)，造成相當(dāng)多的學(xué)生覺得數(shù)學(xué)抽象難學(xué)、枯燥無味，從而愈來愈失去興趣。這對(duì)于培養(yǎng)有競(jìng)爭(zhēng)與創(chuàng)新能力的學(xué)生來講是十分不利的。

而數(shù)學(xué)建模正是這樣一門學(xué)科，它將復(fù)雜的實(shí)際問題劃歸為數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法或編程計(jì)算對(duì)模型進(jìn)行分析從而得到結(jié)果，再返回去解決現(xiàn)實(shí)問題。它建立了一座從理論到現(xiàn)實(shí)的橋梁。

3 如何融入數(shù)學(xué)建模思想

3.1 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的重要性

迫于學(xué)時(shí)壓力，我們大多數(shù)醫(yī)學(xué)院數(shù)學(xué)教師在第一堂課直接“切入主題”，開始第一章內(nèi)容的講解。我們忽略了高等教育與初等教育的區(qū)別。高等教育不是簡(jiǎn)單地在課堂上將知識(shí)灌輸給學(xué)生，更多地是要引導(dǎo)學(xué)生合理安排課堂之外的時(shí)間自主學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生去發(fā)掘，去創(chuàng)新。通過以往的經(jīng)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生由于缺乏對(duì)高等數(shù)學(xué)與醫(yī)學(xué)結(jié)合日益緊密的認(rèn)識(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)的目標(biāo)盲目，在遇到難題的時(shí)候往往缺乏知難而進(jìn)的精神。

在緒論課上，醫(yī)學(xué)院校的數(shù)學(xué)教師，首先要將一些數(shù)學(xué)與醫(yī)學(xué)最新結(jié)合的動(dòng)態(tài)傳遞給學(xué)生。如醫(yī)學(xué)上CT的發(fā)明獲得1979年諾貝爾獎(jiǎng)，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是二維Rodan變換，1985年醫(yī)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)也是由建立了“免疫網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)”的瑞典數(shù)理醫(yī)學(xué)專家Jerne獲得。隨著在完整基因組、功能基因組、生物大分子相互作用及基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)等方面大量數(shù)據(jù)的積累和基本研究規(guī)律的深入，生命科學(xué)正處在用統(tǒng)一的理論框架和先進(jìn)的實(shí)驗(yàn)方法來探討數(shù)據(jù)間的復(fù)雜關(guān)系，向定量生命科學(xué)發(fā)展的重要階段。醫(yī)學(xué)科研問題，與數(shù)學(xué)聯(lián)系越來越緊密。

留出第一節(jié)課，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)應(yīng)用于醫(yī)學(xué)研究的最前沿的知識(shí)，而不是僅僅停留在抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、定理的表面，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)其重要性，培養(yǎng)學(xué)生興趣，激發(fā)其自主學(xué)習(xí)的動(dòng)力，這一點(diǎn)是十分必要的。

3.2 將醫(yī)學(xué)模型引入課堂教學(xué)

應(yīng)用數(shù)學(xué)模型研究生命科學(xué)與臨床醫(yī)學(xué)中的一些課題已越來越受到重視。將醫(yī)學(xué)模型引入課堂教學(xué)，有助于學(xué)生將數(shù)學(xué)與自己的專業(yè)知識(shí)聯(lián)系在一起學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)不再停留于抽象的理論。如：

例1 恒速靜脈滴注多次給藥一室模型血藥濃度計(jì)算

設(shè)k0是靜脈滴注速率， k是一級(jí)消除率，τ0 是滴注時(shí)間，c(t)t 是t 時(shí)刻體內(nèi)血藥濃度，V 是表觀體積，靜脈滴注過程服從如下一室藥物動(dòng)力學(xué)模型[1]：

dc(t)dt=k0V-kc(t)， 0≤t≤τ0

dc(t)dt=-kc(t)， t≥τ0

c(0)=0(1)

若考慮以24 h為一個(gè)治療時(shí)段，由(1)式可解得第一次靜脈滴注后體內(nèi)的血藥濃度為[2]：

c(t)=A(1-e-kt)， 0≤t≤τ0

c(τ0)e-k(t-τ0)， τ0≤t≤24(2)

其中 A=k0kV=k0Clt(3)

Clt 為藥物的清除率。

若dn 為第n 次靜脈滴注與第n-1 次靜脈滴注間隔的天數(shù)(n=2，3，…) 。由(1)式及(2)式可推導(dǎo)出第n 次靜脈給藥后體內(nèi)的血藥濃度為[2]

c(t)=A-[A-c(24dn-1)]e-k(t-24dn-1)， 24dn-1≤t≤24dn-1+τ0

c(24dn-1+τ0)e-k(t-24dn-1-τ0)， 24dn-1+τ0≤t≤24dn(4)

臨床中很多疾病需采用不同藥物交替治療，各種藥物在組織與血液中血藥濃度也不同，醫(yī)生采取什么樣的用藥方案直接影響治療結(jié)果。例如小兒重癥支原體肺炎治療方案的涉及一直是臨床關(guān)注的問題。文獻(xiàn)[2]的作者在進(jìn)一步的研究中以小兒重癥支原體肺炎的治療問題為背景，根據(jù)其療程的要求和恒速靜脈滴注多次給藥一室模型給出四種用藥方案，并根據(jù)計(jì)算出的4種給藥方案的血藥濃度，繪制藥時(shí)曲線，給出其相應(yīng)的平均穩(wěn)態(tài)血藥濃度和有效治療時(shí)間，為依據(jù)臨床表現(xiàn)，選擇最優(yōu)的治療提供了可供參考的方案。

我們嘗試在每章數(shù)學(xué)知識(shí)介紹的同時(shí)穿插個(gè)別典型醫(yī)學(xué)應(yīng)用模型，個(gè)別數(shù)學(xué)模型作為課后輔助研讀材料[3]，如下：

第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

藥物的吸收模型、藥物在體內(nèi)的殘留量模型、簡(jiǎn)單的腫瘤生長(zhǎng)模型(判斷已知生長(zhǎng)規(guī)律函數(shù)的腫瘤是否會(huì)無限制長(zhǎng)大)、化學(xué)反應(yīng)物質(zhì)的量。

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

微分在心輸出量誤差估計(jì)中的應(yīng)用模型、種群增長(zhǎng)變化率模型、病菌繁殖速度模型。

第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

小血管的軸流問題，咳嗽問題的數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)數(shù)在求醫(yī)學(xué)中一些極值問題時(shí)的應(yīng)用模型(血藥濃度何時(shí)達(dá)到最大、睡眠時(shí)氣管中氣流何時(shí)流速最大)。

第四章 不定積分，第五章 定積分

單位時(shí)間內(nèi)血流量、心臟輸出血量的控制、血流速、心臟輸出量的測(cè)定、呼出或吸入空氣的速度、主動(dòng)脈壓。

第六章 多元函數(shù)微積分學(xué)

尿素清除率的誤差估計(jì)、利用已知樣本數(shù)據(jù)和最小二乘法擬合血硒和發(fā)硒的經(jīng)驗(yàn)公式、利用已知數(shù)據(jù)和最小二乘法擬合血藥濃度和時(shí)間的關(guān)系式、藥物穩(wěn)定性及疾病診斷模型、糖尿病診斷模型。

第七章 常微分方程

給藥模型、靜脈輸液?jiǎn)栴}、死亡生物體內(nèi)C14 變化規(guī)律、血液流速、種群生長(zhǎng)模型、人口模型、流行病學(xué)模型、減肥問題的數(shù)學(xué)模型、藥物動(dòng)力學(xué)房室模型(快速靜脈注射模型、口服或肌肉注射模型)、SARS傳染病模型。

由于各種病毒潛伏期、傳播途徑、變異與否及生物體是否產(chǎn)生抗體等因素不同，在介紹了經(jīng)典的傳染病模型之后，引導(dǎo)學(xué)生思考H1N1病毒傳播的數(shù)學(xué)模型。

第八章 無窮級(jí)數(shù)

藥物在體內(nèi)的殘留量。

面向不同專業(yè)的學(xué)生我們根據(jù)其未來的發(fā)展方向介紹不同的應(yīng)用模型，如醫(yī)學(xué)信息管理專業(yè)的學(xué)生我們更多引入醫(yī)院管理中所涉及到的規(guī)劃、預(yù)測(cè)、決策模型，并會(huì)用計(jì)算機(jī)模擬求解。我們也可適當(dāng)引入應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)的社會(huì)熱點(diǎn)問題模型，如高校學(xué)費(fèi)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，核廢料處理，H1N1傳播規(guī)律與控制等問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，學(xué)會(huì)建模。這也無形中提高了學(xué)生科研創(chuàng)新的能力。

3.3 將數(shù)學(xué)建模軟件引入課堂教學(xué)

計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件的迅速發(fā)展，為數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的工具。SPSS、SAS等數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)軟件從凌亂的數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，Mathematica、Matlab、Maple、Lindo、Lingo等常用數(shù)學(xué)建模軟件不僅可處理繁瑣的計(jì)算，其強(qiáng)大的繪圖功能也豐滿了我們的課件，將抽象的符號(hào)直觀地呈現(xiàn)。

例如，Matlab將高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化集成在一起，提供了大量的內(nèi)置函數(shù)，被廣泛地應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、控制系統(tǒng)一集信息處理等領(lǐng)域的分析、仿真和設(shè)計(jì)工作。它強(qiáng)大的數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)，包括了一系列基本的數(shù)學(xué)函數(shù)。利用Matlab可以進(jìn)行高等數(shù)學(xué)中的極限計(jì)算、導(dǎo)數(shù)微分計(jì)算、積分計(jì)算、常微分方程求解以及級(jí)數(shù)計(jì)算。

例2 求解微分方程組的通解和特解[4]

2dxdt+dydt-y=e-t

dxdt+x+y=0，

其中初始條件：x(0)=1.5，y(0)=0 。

首先求解微分方程的通解：

>> s=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0');%求解的微分方程組的通解

>> s.x %微分方程組變量x的通解

ans =

-C1*exp((1+2^(1/2))*t)-C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+1/2*C1*exp((1+2^(1/2))*t)*2^(1/2)-1/2*C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)*2^(1/2)-1/2*exp(-t)

>> s.y %微分方程組變量y的通解

ans =

C1*exp((1+2^(1/2))*t)+C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

然后根據(jù)初始條件，求解微分方程組的特解：

>> s=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0'，'x(0)=1.5'，'y(0)=0');%微分方程組在給定初始條件下的特解

>> s.x

ans=

-2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)+2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+exp((1+2^(1/2))*t)+exp(-(2^(1/2)-1)*t)-1/2*exp(-t)

>> s.y

ans=

2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)-2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

%或者使用下面的命令直接獲取x，y的特解

[x，y]=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0'，'x(0)=1.5'，'y(0)=0')

得到

x =

-2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)+2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+exp((1+2^(1/2))*t)+exp(-(2^(1/2)-1)*t)-1/2*exp(-t)

y =

2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)-2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

Mtalab還提供了豐富的圖形表示方法，使得數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果可以方便、多樣性地實(shí)現(xiàn)可視化，從而可以直觀地觀察數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在關(guān)系。Matlab圖像處理工具箱和自編函數(shù)可以方便快捷地對(duì)醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行各種處理，使用者可根據(jù)臨床需要自行建模與仿真，為臨床教學(xué)與科研提供了很好的處理工具。

例3 利用Matlab特殊圖像顯示技術(shù)顯示多幀核磁共振圖像[4]，代碼如下：

%定義一個(gè)4維矩陣，用來存儲(chǔ)27幅核磁共振圖像

>>mri=uint8(zeros(128，128，1，27));

%循環(huán)讀出多幀圖像中的每一圖像

for frame=1:27

[mri(:，:，:，frame)，map]=imread('mri.tif'，frame);

End

%多幀顯示

>> montage(mri，map)

其運(yùn)行結(jié)果如下： Mtalab制作的圖形使我們的CAI課件更加形象生動(dòng)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，另一方面還可培養(yǎng)學(xué)生對(duì)醫(yī)學(xué)圖像處理和加工的能力。圖像變換功技術(shù)在圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)和有效地減少圖像數(shù)據(jù)、進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮以及特征提取等方面都有著十分重要的作用。Matlab提供的快速傅立葉變換函數(shù)和離散余弦變換函數(shù)(DCT)等在對(duì)圖像效果增強(qiáng)、圖像分析、圖像復(fù)原和圖像壓縮等方面應(yīng)用廣泛。

3.4 融入醫(yī)學(xué)建模實(shí)例的高等數(shù)學(xué)教材編寫

緊密跟隨醫(yī)學(xué)與生命科學(xué)發(fā)展的腳步，編寫包含最新科研成果的醫(yī)用高等數(shù)學(xué)教材也是我們醫(yī)科院校高等數(shù)學(xué)教師積極不懈所奮斗的一個(gè)方向，這也無形中要求我們改變知識(shí)結(jié)構(gòu)，拓寬知識(shí)面，多學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)知識(shí)，與醫(yī)學(xué)類教師多交流合作。

4 結(jié)語

我們通過選取個(gè)別專業(yè)班級(jí)(醫(yī)學(xué)信息技術(shù)、生物醫(yī)學(xué)工程和臨床醫(yī)學(xué))作為試點(diǎn)，不斷嘗試和改進(jìn)教學(xué)方法，并起到了良好的效果。試點(diǎn)班級(jí)學(xué)生課堂表現(xiàn)活躍，課下積極思考，并踴躍參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。我們發(fā)現(xiàn)，要培養(yǎng)高素質(zhì)的醫(yī)學(xué)人才，醫(yī)用高等數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)課程必須與應(yīng)用緊密結(jié)合，這就要求我們將數(shù)學(xué)建模的思想和方法結(jié)合計(jì)算機(jī)的模擬求解巧妙融入其課堂教學(xué)過程。當(dāng)然提高醫(yī)用高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，需要做的還很多，這將是我們醫(yī)學(xué)院數(shù)學(xué)教師要不斷努力和探索的課題。