論文關鍵詞：灰色預測模型改進的萊斯利模型老齡化指數平均壽命平均年齡

論文摘要：人口問題涉及人口質量和人口結構等因素，是一個復雜的系統工程，穩定的人口發展直接關系到我國社會、經濟的可持續發展。如何從數量上準確的預測人口數量以及各種人口指標，對我國制定與社會經濟發展協調的健康人口發展計劃有著決定性的意義。近年來我國的人口發展出現了許多新的特點，這些都影響著我國人口的增長。鑒此，本文依據灰色預測方法和年齡移算理論，基于人口普查統計數據，從人口系統發展機理上展開討論。

首先根據灰色預測理論，建立了一級的灰色預測模型，再將近幾年我國的人口數量帶入模型，便得到未來較短時間內我國的人口數量。所得結果為我國總人口將于2006年、2007，2008，2009，2010年分別達到13.1495，13.2212，13.2909，13.3587，13.4246億人。

然后分析人口發展方程中按年齡死亡率及生育模式等參數函數的內在變化規律，及其對總人口的影響，建立了萊斯利主模型，并在此基礎上針對各參數函數的不同特點，建立了生育模型和死亡模型等子模型。在將所得子模型和主模型結合，依據當前人口結構現狀對我國的人口做了長期的預測。所得結果是我國總人口將于2010年、2020年、2030年分別達到13.51058，14.38295，14.78661億人與國家發展戰略報告數據一致。

最后對所建模型的優缺點進行了客觀的評價。

一、問題的提出

1.1 問題：

中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發展的關鍵因素之一。根據已有數據，運用數學建模的方法，對中國人口做出分析和預測是一個重要問題。

近年來中國的人口發展出現了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續升高，以及鄉村人口城鎮化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發布的《國家人口發展戰略研究報告》還做出了進一步的分析。

關于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數據資料。試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發，參考附錄2中的相關數據（也可以搜索相關文獻和補充新的數據），建立中國人口增長的數學模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預測。

1.2 背景分析：

中國是世界上人口最多的發展中國家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有資源相對不足，是我國的基本國情，人口問題一直是制約中國經濟發展的首要因素。

人口數量、質量和年齡分布直接影響一個地區的經濟發展、資源配置、社會保障、社會穩定和城市活力。在我國現代化進程中，必須實現人口與經濟、社會、資源、環境協調發展和可持續發展，進一步控制人口數量，提高人口質量，改善人口結構。對此，單純的人口數量控制（如已實施多年的計劃生育）不能體現人口規劃的科學性。政府部門需要更詳細、更系統的人口分析技術，為人口發展策略的制定提供指導和依據。

長期以來，對人口年齡結構的研究僅限于粗線條的定性分析，只能預測年齡結構分布的大致范圍，無法用于分析年齡結構的具體形態。隨著對人口規劃精準度要求的提高，通過數學方法來定量計算各種人口指數的方法日益受到重視，這就是人口控制和預測。

二、問題分析

2.1 整體分析

人口增長模型是由生育、死亡、疾病、災害、環境、社會、經濟等諸多因素影響和制約的共同結果，如此眾多的因素不可能通過幾個指標就能表達清楚，他們對人口增長的潛在而復雜的影響更是無法精確計算。這反映出人口系統具有明顯的灰色性，適宜采用灰色模型去發掘和認識原始時間序列綜合灰色量所包含的內在規律。

灰色預測模型屬于全因素的非線性擬合外推類法，其特點是單數列預測，在形式上只用 被預測對象的自身序列建立模型，根據其自身數列本身的特性進行建模、預測，與其相關的因素并沒有直接參與，而是將眾多直接的明顯的和間接的隱藏著的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，對灰色量進行預測，不必拼湊數據不準、關系不清、變化不明的參數，而是從自身的序列中尋找信息建立模型，發現和認識內在規律進行預測。

基于以上思想我們建立了灰色預測模型。

2.2 局部分析

在灰色預測模型中，與起相關的因素并沒有直接參與，但如果考慮到直接影響人口增長的因素，例如出生率、死亡率、遷入遷出人口數等，根據具體的數據進行計算，則可以根據年齡移算理論，從某一時點的某年齡組人數推算一年或多年后年齡相應增長一歲或增長多歲的人口數。在這個人口數的基礎上減去相應年齡的死亡人數，就可以得到未來某年齡組的實際人口數。對于0歲的新生人口，則需要通過生育率作重新計算。

當社會經濟條件變化不大時，各年齡組死亡率比較穩定，相應活到下一年齡組的比例即存活率也基本上穩定不變。因而可以根據現有的分性別年齡組存活率推算未來各相應年齡組的人數。

即，若某t年年初有i歲人口數 人，次年即（t+1）年年初這些人長了一歲為（r+1）歲。若 為這批人在一年內的死亡率，則(t+1)年年初（i+1）歲的人口數為 。0歲人口數需要通過婦女生育情況另行計算。

因此可以建立人口發展矩陣方程模型這一主模型，并在其基礎上建立生育率模型和死亡率模型。

三、模型假設

1. 假設附件中所給數據真實可靠且具有預測性。

2. 不考慮國內外的人口遷移對我國人口的影響。

3. 不考慮香港、臺灣以及澳門人口。

4. 假設影響中國總人口數的主要因素是死亡率和出生率。

5. 假設在社會穩定的前提下，生育和死亡率都比較穩定。

6. 由國家人口發展戰略研究報告知，我國總和生育率從20世紀70年代初的5.8下降到目前的1.8，低于更替水平。假設在未來的發展進程中，我國婦女的總和生育率保持為1.8。

四、名詞解釋

1. 人口：生活在一定社會生產方式、一定時期、一定地域，實現其生命活動并構成社會生活主體，具有一定數量和質量的人所組成的社會群體。

2. 出生率：指某年每1000人對應的活產數，又稱總出生率或粗出生率。它反映人口的出生水平，一般以千分數表示。

3. 生育率：某年每1000名15-49歲婦女的活產嬰兒數。又稱一般生育率。該指標比出生率要精確一些，因為它將同可能生育的特定性別年齡的人口聯系起來（通常是15-49歲的婦女），排除了年齡性別結構不同引起的偏差。生育率比出生率更能揭示生育水平的變化。

4. 總和生育率：指假定婦女按照某一年的年齡別生育率度過育齡期，平均每個婦女在育齡期生育的孩子數

5. 死亡率：一定時期內（通常為一年）死亡人數與同期平均人數（或期中人數）之比。說明該時期人口的死亡強度，通常用千分比表示。

6. 人口增長率：人口增長程度或增長速度，即一定時期內人口增長數與人口總數之比。通常以一年為期計算，用百分數表示。

7. 人口年齡結構：某一年某一地區按年齡劃分的人口數。

8. 老齡化指數：65歲以上人口對15歲以下人口的比例，數值越高說明老齡化程度越深。

9. 平均壽命：0歲時的期望壽命，用以反映同時出生的一群人預期可能存活的歲數。

10.灰生成：將原來數據通過某種運算交換為新數據，成為灰生成，新數據稱為變換數據。

11.累加生成：將同一序列中數據逐次相加以生成新的數據。

五、模型的建立

模型一 灰色預測模型

灰色系統是指既含有已知信息、又含有未知信息或非確知信息的系統，也稱為貧信息系統。灰色模型是根據關聯度、生成數灰導數、灰微分等觀點和一系列數學方法建立起來的連續性的微分方程。灰色預測是灰色系統理論的一個重要方面，它利用這些信息，建立灰色預測模型，從而確定系統未來的變化趨勢。灰色預測模型能夠根據現有的少量信息進行計算和推測。

灰色建模的思路是：從序列角度剖析微分方程，是了解其構成的主要條件，然后對近似滿足這些條件的序列建立近似的微分方程模型。而對序列而言（一般指有限序列）只能獲得有限差異信息，因此，用序列建立微分方程模型，實質上是用有限差異信息建立一個無限差異信息模型。

設原始序列為

這是一組信息不完全的灰色量，具有很大的隨機性，將其進行生成處理，以提供更多的有用信息。下面選用累加生成，則m次累加生成的結果為

式中

（k=1，2，…，n）

一般通過一次累加生成就能使數據呈現一定的規律，若規律不夠，可增加累加生成的次數。同理一次累加序列為

在數據生成的基礎上，用線性動態模型對生成數據擬合和逼近。對 建立模型

白化形式微分方程的離散解為

（k=0，1，2，…，n-1）

按累減生成還原，計算后得到預測數據。顯然這里只需一次累減。

利用1999年-2005年的中國人口數據，然后根據最小二乘法原理運用Matlab軟件編程（程序見附錄）對參數求解可以得到： ，初始序列的第一個元素為0.0975。

因此可得白化形式微分方程的離散解為

即

通過上述GM（1，1）模型的建模過程可知，模型的解是一個指數函數，實際上對于任意非負離散點序列，其一次累加序列呈現指數規律，因此，用指數函數來擬合是可以的。

模型二 模型組

下面以人口發展矩陣方程為主模型，并在此基礎上進一不建立生育模型和死亡模型的子模型。

主模型：改進的萊斯利模型

以年為組劃分年齡組，令最長壽命為m，設第t年滿i足歲不到i+1足歲的人數為 ，t=0，1，2…，i=0，1，2，…，m.其中表示符合條件的全部人口。記 為第t年i年齡組的死亡率，因此有

，

i=0，1，2，…，m-1，t=0，1，2….(式一)

令為i組婦女在t年的生育率， 為婦女的育齡期， 為i組中t年時的女性的人口比率，則第t年出生的人口為

其中 是生育模式，成立 ，而

Ⅱ 年齡移算原理求解

年份 由上表數據，可用EXCEL畫出平均年齡圖，平均壽命圖，老齡化指數圖（參見附表1-3）.

年份

其中

通過這些公式不難得出如下表二：

表二

通常 、 、C值越小，p值越大，則模型的精度越好。若 <0.01且<0.01，C<0.35，p>0.95，則模型精度為一級.觀察數據可知 <0.35且p=0.96>0.95，所以該模型為一級模型。有很高的信任度。

Ⅱ 模型二的結果的分析：

在附件一（國家人口發展戰略研究報告）中指出，我國總人口將于2010年、2020年分別達到13.6億人和14.5億人，2033年前后達到峰值15億人左右。這與我們得到的在2010年人口為13.51058億人和2020年達到14.38295億人以及2030年的14.78661億人很接近，由此可以看出我們所建模型的正確性。

由結果知，我國人口規模呈現先升后降的趨勢，這達到了我們國家的計劃生育指標，為我國經濟建設奠定了基礎。

從2010-2030年我國人口指數數據預測表（5年為一階段）表數據和附表中的條形圖，可以直觀地看出我國人口的平均年齡隨著時間的推移在逐漸增大，而且市、鎮、鄉依次成遞減規律；平均壽命存在同樣的規律，老齡化指數隨時間的推移也在逐漸增大，說明我國人口老齡化程度在逐漸加深，而且市、鎮、鄉的老齡化指數成增加的趨勢與國家發展人口戰略報告的結果一致。

Ⅰ 模型的優缺點：

優點：本文建立了兩個模型--灰色預測模型和改進萊斯利模型，其中灰色預測模型用于對中國人口增長趨勢做出短期預測，而離散控制模型是做長期預測。

灰色預測模型是從自身的序列中尋找信息建立模型，發現和認識內在規律進行預測，而將影響目標的因素看成是灰色量，因而能夠根據現有的少量信息進行計算和推測。

所以只需少量數據就可以進行較準確的預測，因而該模型有較強的移植性。在對該模型進行大量的試驗之后，可知它在做短期預測時精度是非常高的。

離散控制模型與灰色預測模型形成鮮明的對比，在此模型中則需充分考慮影響人口增長的因素，理解他們是怎樣影響人口變化的，將定性的轉化為的定量的。該模型考慮了各發面的因素，因而所的結果更貼近實際，有較高的實用價值和理論價值。

缺點：由于數據有限，未能充分考慮影響人口增長的因素，因此所建模型不全面，所得的結果與實際有一定的出入。

Ⅱ 模型的改進：

對死亡模型的改進，對連續的按年齡死亡率函數可用多元樣條，即曲面擬合來進行構造。

死亡率是一個客觀現實的統計，不是受人為影響的量，一般受社會發展水平、醫療衛生、自然災害、自然環境、社會環境等一些已知因素的影響比較大，還有受一些間接的、未知因素的影響，要把影響死亡率的各因素都包含在內是不可能的，只能根據以往的客觀數據來對人群死亡率函數進行離散行式的擬合和預測，可用再次采用灰色預測。也可以建立一般的人群死亡率預測方法，要假定人群期望壽命有上限，或者采用控制人群期望壽命增長速度的方法，使得預測結果趨于合理，如最佳壽命表，模型壽命表等方法。

Ⅲ.模型的推廣：

由于灰色預測模型能夠根據現有的少量信息進行計算和預測，因而除了在人口方面適用，也在經濟、生態、醫學、工程技術、氣象、水文及減災等許多部門得到了廣泛的推廣。

改進的萊斯利模型主要通過迭代的方法預測未來長期人數，由于精度高，事業它可以應用于一些預測問題中，同時也可以對一些防止問題進行合理的處理。

九、做題感受

通過這次比賽，我們從中學到了許多，不僅僅是知識更有許多做人做事的道理。通過暑假一個月的數模培訓，使我們得到較滿意的結果：雖然覺得具體學到的知識不是太多，但它讓我們認識到，數模不是讓我們去解決理論上的難題，而是重在培養一種思維，一種對身邊任何事物數學化的思維。這不但是數學理論的現實應用，更是對數學本身的深層次的理解。使我們在思考問題的時候有了較大的思維轉變。在思考問題時會考慮的更全面，并對其進行深層次的思考，使我們變的更加嚴謹。

一個小組由三個隊員組成，所以它決不是一個人的事情，這就要發揚團隊協作精神，共同思考并解決問題。一個人的精力、思維或知識總是有限的，他不可能對某些大問題給出全面的、完美的結果。因此，注重集體的力量，協作搞好工作不容忽視。

數模帶給我們的遠不止這些，有些東西是只可意會不可言傳的，總的來說，我們從中學到了許多許多。我們將一如既往的堅持下去。

十、

[1] 熊和金，徐華中，灰色控制，北京：國防工業出版社，2005.9。

[2] 譚永基，蔡志杰，數學模型，上海：復旦大學出版社，2005.2。

[3] 衷克定，數據統計分析與實踐—SPSS for Windows，北京：高等教育出版社，2005.4。

[4] 陳強，人口系統模型及人口狀況分析，中國優秀碩士學位論文，2004.9。

[5] 虞麗萍，人口年齡結構模型建模和預測，中國優秀碩士學位論文，2007。

十一、附錄

Ⅰ程序

1.1 模型一的程序：

灰色預測模型

a=[12.5768 12.6743 12.7627 12.8453 12.9227 12.9905 13.0756];

%1999年至2005年的統計人口數 ，t=1時映射的增長年份為94-95

for i=1:6

c(i)=a(i+1)-a(i); %年凈增長人數

end

c

for i=1:6

b(i)=a(i+1)-a(1); %年凈增長人數的1-AGO

end

b

B=zeros(2，5);

for i=1:5

B(1，i)=-0.5*(b(i)+b(i+1));

end

B(2，:)=[1 1 1 1 1];

C=B'; %矩陣轉置

r=zeros(1，5);

for i=1:5

r(i)=c(i+1);

end

r=r';

s1=B*C;

s2=inv(s1);

s3=s2*B;

s=s3*r %結果系數為0.0281，0.0888；且序列c的第一個元素是0.0975

2.2 模型二的程序：

2.2.1年齡移算法的程序

for i=1:91

B(i+1)= A(i)*(1-d(i));

end

sum1=0;

for i=16:50

sum1=b(i-15)*k(i-15)*A(i)+sum1;

end

B(1)=(1-d(1))*(1-d(1))*sum1;

sum2=0;

for i=1:92

sum2=sum2+B(i);

end

B=zeros(1，92);

for i=1:91

B(i+1)=A(i)*(1-d(i));

End

2.2.2改進萊斯利模型的程序

注：下面只是舉一例-2030年鄉村人口預測及其人口特征程序，其余依次類推由于其中具體數據過于龐大，故不一一將其列出，只是將最近2005年的數據列出，請參見附表1.

子程序：

A11 %生成矩陣A的M文件，其維數為（90，90），表示各年齡段的死亡率.

B2 %生成矩陣B的M文件，其維數為（90，90），表示各年齡段的生育率.

x1 %生成矩陣X的文件，其維書為（90，1），表示各年齡段的抽樣人數.

y=increase(x，A，B，25); %調用自定義的改進萊斯利模型函數

sum=0;

for i=1:90

sum=sum+y(i);

end

sum1=111489.7196*25;

sum=sum+sum1 %抽樣的總人口數

s2=0;s3=0;s4=0;

for i=1:90

s2=s2+i*y(i);%求平均年齡中的

for j=0:i-1

if i<89

s3=a1(j+1)+s3;

else

s3=s3+29.6185*10^(-5);%對于查

end

s3=s3+19.0975*10^(-5);

end

s4=s4+exp(-s3);

end

r=s2/sum %平均年齡

s4%平均壽命

w=r/s4%老齡化指數

以下是改進萊斯利模型函數的程序

function y=increase(x，A，B，n)

for i=1:n

x=A*x+1.8*B*x;

end

y=x;

Ⅱ 圖形及圖表

附表1

注：此為利用改進萊斯利模型得到的平均年齡圖，系列1表示城市人口平均年齡；

系列2表示鎮人口平均年齡；系列3表示農村人口平均年齡.

附表2

注：此為利用改進萊斯利模型得到的平均壽命圖，系列1表示城市人口平均壽命；

系列2表示鎮人口平均壽命；系列3表示農村人口平均壽命.

附表3

注：此為利用改進萊斯利模型得到的老齡化指數圖，系列1表示城市人口老齡化指數；

系列2表示鎮人口老齡化指數；系列3表示農村人口老齡化指數.

附表4

注：此圖為2005年城市人口各年齡段的人口死亡率.

附表5

注：此圖為2005年鎮人口各年齡段的人口死亡率.

附表6

注：此圖為2005年農村人口各年齡段的人口死亡率.