數學概念是對客觀事物的數量關系、空間形式或結構關系的特征概括，是對一類數學對象的本質屬性的反映。初中數學中有大量的概念，它們是數學基礎知識的重要組成部分，也是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎。而變式教學是在教學中使學生確切掌握概念的重要方法之一。筆者就概念教學中的“變式教學”談點看法，以饗讀者。

一、 通過具體或直觀變式引入概念

數學概念的一個基本特征是抽象性，但許多數學概念又直接來自具體的感性經驗，因此，概念引入教學的關鍵是建立感性經驗與抽象概念之間的聯系。

顧泠沅（1981）的研究表明，影響學生掌握幾何概念的主要因素有三個：已具備的圖形經驗、概念的敘述以及掌握概念所依據的圖形變式。以全等圖形的概念教學為例。有經驗的教師通常會借助于下面兩類變式：一是通過日常生活中的直觀材料組織已有的感性經驗，使學生理解概念的具體含義；二是利用不同的圖形變式，作為直觀材料與抽象概念之間的過渡，使學生原有的感性經驗從具體直觀上升到圖形直觀材料的水平，進而掌握概念圖形的基本特征，準確地把握概念的外延空間。

由于數學概念的本質是抽象的，因此，在教學的適當階段還應盡可能擺脫具體或直觀的背景，使概念上升到抽象水平。此外，許多數學概念都是逐次抽象的結果，因此，數學概念的具體與抽象是相對而言的。

二、 通過正例變式突出概念的本質屬性

一般意義上的教學變式主要包括兩類：一類是屬于概念的外延集合的變式，稱為正例變式，其中又可以根據其在教學中的作用分為概念的標準變式和非標準變式；另一類是不屬于概念的外延集合的變式，但與概念對象有某些共同的非本質屬性的變式，其中包括用于揭示概念對立面的反例變式。

和一般科學概念一樣，數學概念是一種外延性概念，也就是說，每個概念都有一個明晰的邊界，掌握概念意味著能夠通過內涵去確定一個具體的對象是否在這個邊界內。因此，教學的一種有效途徑就是將概念的外延作為變異空間，將其所包含的對象作為變式，通過類化不同變式的共同屬性而突出概念的本質屬性。

在概念的對象集合中，盡管從邏輯的角度看，每個對象都是等價的，但實際上，這些對象在學生的概念理解系統中的地位并不相同。特別地，其中一些對象由于其擁有“標準的”形式、或者受到感性經驗的影響、或者在引入概念時的“先入為主”等原因而成為所謂的標準變式.

在這兩種正例變式中，標準變式雖然有利于學生對概念的準確把握，但也容易限制學生的思維，從而人為地縮小概念的外延。解決這個問題的方法之一就是充分利用非標準變式，通過變換概念的非本質屬性，突出其本質屬性。 三、 通過反例變式明確概念的外延

概念的內涵與外延是對立而統一的，內涵明確則外延清晰，反之亦然。因此，概念的教學除了在內涵上下功夫外，還應該使學生對概念所包含的對象集合有一個清晰的邊界。

這里的一條有效途徑就是利用反例變式，例如，當學生通過“標準圖形”獲得了對頂角的概念后，宜用反例變式：

反例變式的運用消除了非本質特征的干擾，劃清了與其他概念之間的邊界，明確了概念的外延，以達到對數學概念的本質特征的深刻理解。

上述這類反例變式一般有兩個來源：一是來自概念之間的邏輯關系；二是基于學生常見的錯誤。教師運用反例變式進行概念教學，一方面可以幫助學生建立相關概念之間的聯系；另一方面也可以預防或者澄清學生在概念理解時可能出現的混淆，從而確切地把握概念變式的本質特征。

反例變式的另一種形式是讓學生舉出不合某屬性的例子。例如，命題“各邊都相等的多邊形是正多邊形”是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請舉一反例。在去掉本質屬性“各角相等”后，學生需要對各邊都相等的多邊形進行多次的檢驗、選擇、批判，從而明白哪些是本質特征，哪些是非本質特征，再舉出反例。這一思考過程，使學生思維的批判性和創造性也得到了很好的培養。

總之，在數學概念的形成過程中，正例變式有利于“豐富”概念，反例變式有利于“純潔”概念，從而盡可能避免非本質屬性泛化的錯誤，使數學概念的概括精確化，提高了概念教學的有效性。