按照思維過程是否遵循一定的邏輯規則為標準，可以將數學思維分為分析思維和直覺思維．分析思維，就是邏輯思維，它主要是以邏輯（形式邏輯或辯證邏輯）規則對事物按部就班地認識，對其過程主體有清晰的意識．在中學數學中，由于數學知識的嚴謹性，抽象性和系統性，常常掩蓋了直覺思維的存在和作用，因而在目前教學中往往偏重于演繹推理的訓練，過分強調形式論證的嚴密邏輯性，而忽視了直覺思維的突發性理解于頓悟作用，從而在一定程度上限制了學生創造素質的發展．在新課程改革，大力提倡素質教育的今天，加強學生直覺思維能力的培養是極其重要的．

一、數學直覺思維的涵義

數學直覺思維是人腦對數學對象、結構以及關系的敏銳的想象和迅速的判斷．所謂判斷就是人腦對于數學對象及規律性關系的迅速的認別、直接的理解、綜合的判斷，也就是直接領悟的思維或認識，也就是數學的洞察力，也稱數學直覺判斷．所謂想象，是對人腦中已有的表象進行加工改造，從而創造出新形象的過程．想象對數學家而言，作用是極其重要的．牛頓發明微積分，曾得力于他對幾何于運動的直覺想象．德國數學家明可夫斯基以其非凡的想象力把三維空間聯系起來，構筑起劃時代的四維時空表達式．這種想象和判斷沒有嚴格的邏輯依據，沒有明顯的中間推理過程，思考者對其過程缺少清晰的確定步驟，沒有清晰的意識．對數學對象、結構以及關系的直覺想象和直覺判斷的有機結合，就構成了數學直覺思維．

二、數學直覺思維的特征

根據數學直覺思維的涵義，它具有下列特征：⑴直接性．數學直覺思維反映數學對象、結構以及關系的思維活動，這種思維活動表現為對認識對象的直接領悟或洞察，這是數學直覺思維的本質特征．由于數學直覺思維的直接性，使它在時間上表現為快速性，即數學直覺思維有時是在一剎那時間內完成的；由于數學直覺思維的直接性，使它在過程上表現為跳躍性（或間接性），思維者不是按部就班地推理，而是跳過若干中間步驟或放過個別細節而從整體上直接把握研究對象的本質和

由于數學直覺思維是一種跳躍式的思維，是在邏輯依據不充分的前提下做出的判斷，因而直覺思維的結果可能正確，也可能不正確，這一特性稱為數學直覺思維的或然性．采用數學直覺思維的目的在于迅速找到事物的本質或內在聯系，提出猜想，而不在于論證這個猜想．事實上，猜想可能被證實，也可能被推翻．例如，一百多年前，英國人格色里（Guthrie）發現，他碰到過的所有地圖，都可以用四種顏色來染色．于是，他憑直覺作出了如下的猜想：“任何面上的地圖，總可以把它的每個圖像用四種顏色中的一種來染色，并且使任意兩個相鄰國家的顏色都不同．”這個猜想吸引了大批數學工作者，他們為之付出了艱苦的勞動，盡管問題沒有得到解決，但卻發展了“圖論”這個很有價值的數學分支．1976年，幾個美國數學家借助于電子計算機終于嚴格地證明了四色猜想的正確性．（3）不可解釋性．由于直覺思維是在一剎那時間內完成的，許多中間環節被略去了，思維者對其過程無清晰的意識，所以要對它的過程進行分析研究和追憶，往往是十分困難的，只有當得出并轉換成邏輯語言時才能為別人所理解．

靈感是直覺思維的較高層次形式，是一種突發性的直覺．它表現為人們對長期探索而未能解決問題的一種領悟，也就是對百思不得其解的一種“茅塞頓開”．例如，與愛迪生合作的青年數學家阿普頓初到愛迪生研究所時，愛迪生給了他實驗小燈泡，叫他計算一下燈泡的容積．過了一會兒，發現阿普頓正忙著測量計算，愛迪生說：“要是我，就往燈泡里灌水，將水直接倒入量杯，不就知道燈泡的容積了嗎？”阿普頓的計算才能或邏輯思維能力無疑令人敬佩，然而所缺乏的恰恰是愛迪生的直覺思維能力．

三、數學直覺思維能力訓練的途徑

龐卡萊認為：“所謂發現或發明無非就是一種選擇而已”，“選擇能力決定于直覺”，且“一個人的直覺能力的多寡將決定他創造成績的大小”．彭加勒認為：“邏輯是證明的工具，相信直覺與靈感，真正可貴的因素是直覺”，“看來，直覺是頭等重要的．”事實上，很多數學定理最初都是靠直覺猜測出來的．直覺思維能迅速肯定或否定某一思路或結論，給人以“發散”、“發射”的感覺，一計不成又生一計，避免走彎路．因此，加強直覺思維能力的訓練，對克服思維的單向性，提高思維品質是極其有利的．那么，怎樣訓練學生的數學直覺思維能力呢？ 1.依靠直覺，鼓勵大膽猜想，培養善于猜想的數學思維習慣．

猜想是一種合情合理，屬于綜合程度較高的帶有一定自覺性的高級認識過程．牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現．”對于數學研究或發現性學習來說，猜想方法是一種重要的基本思維方法．正如G.波利亞所說：“在您證明一個數學定理之前，您必須猜想到這個定理，在您搞清楚證明細節之前，您必須猜到這個定理證明的主導思想．”數學猜想是證明的前提，“數學事實首先是被猜想，然后是被證實”，猜想是數學發展的動力．數學理論上的重大突破，常常起源于立意深刻的猜想．比如：哥德巴赫猜想、黎曼猜想、費馬猜想等．

我們在平時教學中可向學生講授數學猜想的一些基本方法：類比性猜想、歸納性猜想、探索性猜想、構造性猜想及審美性猜想．類比性猜想，是指運用類比方法，通過比較兩個問題的共同性，得出新命題或新方法的猜想．歸納性猜想，是指運用不完全歸納法對研究的問題的個例、特例進行觀察分析，從中得到有關命題的形式，結論或方法的猜想．探索性猜想是指依據已有的知識和結果，經嘗試探索而獲得對于待解決問題向結果靠近的方向性猜想．構造性猜想，是指依據數學問題的形式“模式”，利用模型構造法做出相應數學規律或方法的猜想．審美性猜想是運用數學美的思想——簡單性、對稱性、相似性、和諧性、奇異性等，對研究的對象或問題的特點，結合已有知識與經驗所作出的直覺性猜想．

2.創設情境，引導學生直覺思維，點燃學生心靈的思維火花．

在數學教學中，學生的直覺思維的產生和發展，動機的形成，都離不開一定的數學直覺思維情境．牛頓在看到蘋果落地的這一情境而引發直覺思維，發現了萬有引力定律．所以，教師在傳授知識的過程中，一定要精心創設數學直覺思維情境．

例如，在探索八年級（下）第十八章《勾股定理》

情境1:2002年，國際數學家大會采用趙爽的弦圖作為會標．設問：它為什么會有如此大的魅力？它蘊涵著怎樣迷人的奧秘呢？

情境2：出示以3、4、5:；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41；11、60、61為三邊的直角三角形，你們能發現什么規律？

情境3：展示課本73頁探究格點圖正方形A、B、C和正方形A 、B 、C ，土中的三個正方形面積之間存在怎樣的關系？由此你能得出直角三角形三邊關系嗎？

情境4：請學生拿出準備好的四個完全相同的直角三角形，拼成一個正方形（不得有地方重合），你能根據面積與恒等式的知識得到直角三角形的三邊關系嗎？

這一系列情境環環相扣．層層深入，大部分學生通過直覺思維就能完成探究，最終建構起直角三角形三邊關系，無須證明．在這一過程中，教師是作為引導者，引導學生區洞察、去發現、去探索、去創造；學生是作為發現者，教師要敢于把“概念的形成過程、結論的尋求過程、方法的思考過程、問題被發現的過程、規律被揭示的過程”還給學生，讓學生在經歷“直覺思維”的過程中，激發學生的好奇心和學習興趣，逐步學會學習和思考，增長經驗與體會，培養直覺思維能力．

3.引導學生動手操作，促進直覺思維的提高．

教育家蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者．而在孩子的精神世界中，這種需要則特別強烈”．教學中，動手操作是促進直覺思維的重要舉措，一旦實施得當，學生對這些需要的產生得到滿足后，更會激起挑戰意識的增強，在直覺思維的基礎上得到進一步發展和提升．

例如，教師在講授“等腰三角形的兩個底角相等時”，教師可先讓學生拿出已準備好的等腰三角形紙片，引導學生進行觀察并對兩個底角的關系進行猜想．學生通過自己的感覺反應馬上得到“等腰三角形的兩個底角相等”．在教師的肯定與贊揚聲中，學生們躍躍欲試，又通過動手操作：有的拿出了量角器來進行測量，有通過對折來看這兩個角能否重合……很快他們就找到了驗證自己猜想的方法，并自然而又深刻地掌握了這一性質．又如在講授“三角形中位線”之后，通過“畫一畫”“量一量”“看一看”的操作來猜想三角形中位線的性質，通過學生自己觀察與測量得到了“三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”，并饒有興趣地進一步推理論證該定理．在講授新知識的同時，讓學生體驗著知識本身的魅力與內心的喜怒哀樂，同時又培養他們的直覺思維能力．

邏輯思維在數學中在占據著主導地位，而直覺思維是思維中最活躍、最積極、最具有創造性的成分，是數學發現中的關鍵因素．邏輯思維與直覺思維形成了辯證的互補關系．直覺思維為演繹思維提供了動力并指示方向，是邏輯思維的飛躍和升華，而邏輯思維則是對直覺思維做出檢驗與反饋，是直覺思維的深入和精化．可見在數學教學中，邏輯思維與直覺思維是同等重要的，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展．