摘要：“幫助學生學會基本的數學思想方法”是新一輪數學課程改革所設定的一個基本目標。以國際上的相關研究為背景，對小學數學教學中如何突出數學思維進行具體分析表明，即使是十分初等的數學內容也同樣體現了一些十分重要的數學思維形式及其特征性質。

關鍵詞：數學思維；小學數學教學

一、數學化：數學思維的基本形式

眾所周知，強調與現實生活的聯系正是新一輪數學課程改革的一個重要特征。“數學課程的內容一定要充分考慮數學發展進程中人類的活動軌跡，貼近學生熟悉的現實生活，不斷溝通生活中的數學與教科書上數學的聯系，使生活和數學融為一體?！盵1]就努力改變傳統數學教育嚴重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個問題，即應當如何去處理“日常數學”與“學校數學”之間的關系。

事實上，即使就最為初等的數學內容而言，我們也可清楚地看到數學的抽象特點，而這就已包括了由“日常數學”向“學校數學”的重要過渡。

例如，在幾何題材的教學中，無論是教師或學生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實上就已包括了由現實原型向相應的“數學模式”的過渡。再例如，正整數加減法顯然具有多種不同的現實原型，如加法所對應的既可能是兩個量的聚合，也可能是同一個量的增加性變化，同樣地，減法所對應的既可能是兩個量的比較，也可能是同一個量的減少性變化；然而，在相應的數學表達式中所說的現實意義、包括不同現實原型之間的區別（例如，這究竟表現了“二元的靜態關系”還是“一元的動態變化”）則完全被忽視了：它們所對應的都是同一類型的表達式，如4+5=9、7-3=4等，而這事實上就包括了由特殊到一般的重要過渡。

應當強調的是，以上所說的可說是一種“數學化”的過程，后者集中地體現了數學的本質特點：數學可被定義為“模式的科學”，也就是說，在數學中我們并非是就各個特殊的現實情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現象的模型過渡到了更為普遍的“模式”。

也正由于數學的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現實情景，這就為相應的“純數學研究”提供了現實的可能性。例如，就以上所提及的加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數與它們的和，或被減數、減數與它們的差），因此，從純數學的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個已知數的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個數的差是3，其中較小的數是4，問另一個數是幾？”或者“兩個數的差是3，其中較大的數是4，問另一個數是幾？”我們在此事實上已由“具有明顯現實意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。

綜上可見，即使就正整數的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現了數學思維的一些重要特點，特別是體現了在現實意義與純數學研究這兩者之間所存在的辯證關系。當然，從理論的角度看，我們在此又應考慮這樣的問題，即應當如何去認識所說的純數學研究的意義。特別是，我們是否應當明確肯定由“日常數學”過渡到“學校數學”的必要性，或是應當唯一地堅持立足于現實生活。

由于后一問題的全面分析已經超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點：與現實意義在一定程度上的分離對于學生很好地把握相應的數量關系是十分重要的。這正是國際上的相關研究、特別是近年來所興起的“民俗數學”研究的一個重要結論：盡管“日常數學”具有密切聯系實際的優點，但也有著明顯的局限性。例如，如果僅僅依靠“自發的數學能力”，人們往往就不善于從反面去思考問題，與此相對照，通過學校中的學習，上述的情況就會有很大改變，這就是說，純數學的研究“在幫助學生學會使用逆運算來解決問題方面有著明顯的效果”；另外，同樣重要的是，如果局限于特定的現實情景，所學到的數學知識在“可遷移性”方面也會表現出很大的局限性。

一般地說，學校中的數學學習就是對學生經由日常生活所形成的數學知識進行鞏固、適當重組、擴展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數學事實過渡到了系統的知識結構，以及對于人類文化的必要繼承。這正如著名數學教育家斯根普所指出的：“兒童來到學校雖然還未接受正式教導，但所具備的數學知識卻比預料的多……他們所需要的幫助是從（學校教學）活動中組織和鞏固他們的非正規知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結合。”[2]

當然，我們還應明確肯定數學知識向現實生活“復歸”的重要性。這正如著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾所指出的：“數學的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數去對各種不同的集合進行計數，也可以用同樣的數去對各種不同的量進行度量。……盡管運算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算──這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們容易忘記其所涉及的數以及他所面對的文字題中的算術問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計算的同時我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現實。”[3]

總的來說，這就應當被看成“數學化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現實原型抽象出相應的數學概念或問題，而且也包括了對于數量關系的純數學研究，以及由數學知識向現實生活的“復歸”。另外，相對于具體知識內容的學習而言，我們應當更加注意如何幫助學生很好地去掌握“數學化”的思想，我們應當從這樣的角度去理解“情境設置”與“純數學研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數學化……是一條保證實現數學整體結構的廣闊途徑……情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應該服從于總的方法?！盵4]

二、凝聚：算術思維的基本形式

由以下關于算術思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對于具體知識內容的教學而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導意義。

具體地說，這正是現代關于數學思維研究的一項重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉化構成了算術以及代數思維的基本形式，這也就是說，在數學特別是算術和代數中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質，也可以此為直接對象去施行進一步的運算。

例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個加數（被減數與減數）我們就可求得相應的和（差）；然而，隨著學習的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質，如交換律、結合律等，從而，就其心理表征而言，就已經歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數學對象。再如，有很多教師認為，分數應當定義為“兩個整數相除的值”而不是“兩個整數的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向對象的轉變，這就是說，就分數的掌握而言我們不應停留于整數的除法這樣一種運算，而應將其直接看成一種數，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

對于所說的“凝聚”可進一步分析如下：

第一，“凝聚”事實上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說集中地體現了數學的高度抽象性，即“是把已發現結構中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構”。[5]這正如著名哲學家、心理學家皮亞杰所指出的：“全部數學都可以按照結構的建構來考慮，而這種建構始終是完全開放的……當數學實體從一個水平轉移到另一個水平時，它們的功能會不斷地改變；對這類‘實體’進行的運演，反過來，又成為理論研究的對象，這個過程在一直重復下去，直到我們達到了一種結構為止，這種結構或者正在形成‘更強’的結構，或者在由‘更強的’結構來予以結構化?！盵6]例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構”。

第二，以色列著名數學教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個階段：（1）內化；（2）壓縮；（3）客體化。其中，“內化”和“壓縮”可視為必要的準備。前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進行反思──我們在此不僅不需要實際地去實施相關的運作，還可從更高的抽象水平對整個過程的性質作出分析；另外，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現在變成了一個靜止的對象。容易看出，上述的分析對于我們改進教學也具有重要的指導意義。例如，所說的“內化”就清楚地表明了這樣一點：我們既應積極提倡學生的動手實踐，但又不應停留于“實際操作”，而應十分重視“活動的內化”，因為，不然的話，就不可能形成任何真正的數學思維。另外，在不少學者看來，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳統做法的合理性。

第三，由“過程”向“對象”的過渡不應被看成一種單向的運動；恰恰相反，這兩者應被看成同一概念心理表征的不同側面，我們應善于依據不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉換，包括由“過程”轉向“對象”，以及由“對象”重新回到“過程”。

例如，在求解代數方程時，我們顯然應將相應的表達式，如（x+3）2=1，看成單一的對象，而非具體的計算過程，不然的話，就會出現（x+3）2=1=x2+6x+9=1=…這樣的錯誤；然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作為一種檢驗，我們又必須將其代入原來的表達式進行檢驗，而這時所采取的則就是一種“過程”的觀點。

正因為在“過程”和“對象”之間存在所說的相互依賴、互相轉化的辯證關系，因此，一些學者提出，我們應把相應的數學概念看成一種“過程—對象對偶體”procept，這是由“過程”（process）和（作為對象的）“概念”（concept）這兩個詞組合而成的。，即應當認為其同時具有“過程”與“對象”這樣兩個方面的性質。再者，我們又應很好地去把握相應的思維過程（可稱為“過程—對象性思維”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“對偶性”，是指在“過程”與相應的“對象”之間所存在的相互依存、互相轉化的辯證關系；（2）“含糊性”，這集中地體現于相應的符號表達式：它既可以代表所說的運作過程，也可以代表經由凝聚所生成的特定數學對象；（3）靈活性，是指我們應根據情境的需要自由地將符號看成過程或概念。特殊地，數學中常常會用幾種不同的符號去表征同一個對象，從而，在這樣的意義上，上述的“靈活性”就獲得了更為廣泛的意義：這不僅是指“過程”與“對象”之間的轉化，而且也是指不同的“過程—對象對偶體”之間的轉化。例如，5不僅是3與2的和，也是1與4的和、7與2的差、1與5的積，等等。

綜上可見，在算術的教學中我們應自覺地應用和體現“凝聚”這樣一種思維方式。

三、互補與整合：數學思維的一個重要特征

以上關于“過程—對象性思維”的論述顯然已從一個側面表明了互補與整合這一思維形式對于數學的特殊重要性。以下再以有理數的學習為例對此作出進一步的說明。

首先，我們應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合。

具體地說，與加減法一樣，有理數的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關系，商，算子或函數，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認識到了的，就有理數的理解而言，關鍵恰又在于不應停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關、彼此獨立的；而應對有理數的各種解釋（或者說，相應的心理建構）很好地加以整合，也即應當將所有這些解釋都看成同一概念的不同側面，并能根據情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉換。

例如，在教學中人們往往唯一地強調應從“部分與整體的關系”這一角度去理解有理數，特別是，分數常常被想象成“圓的一個部分”。然而，實踐表明，局限于這一心理圖像必然會造成一定的學習困難、甚至是嚴重的概念錯誤。例如，如果局限于上述的解釋，就很難對以下算法的合理性作出解釋：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=…

其次，我們應注意不同表述形式之間的相互補充與相互作用。

這也正是新一輪數學課程改革的一個重要特征，即突出強調學生的動手實踐、主動探索與合作交流：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式……教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗?！盵7]（2）由于實踐活動（包括感性經驗）構成了數學認識活動的重要基礎，合作交流顯然應被看成學習活動社會性質的直接體現和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強調的是，除去對于各種學習方式與表述形式的直接肯定以外，我們應更加重視在不同學習方式或表述形式之間所存在的重要聯系與必要互補。這正如美國學者萊許（R.Lesh）等所指出的：“實物操作只是數學概念發展的一個方面，其他的表述方式──如圖像，書面語言、符號語言、現實情景等──同樣也發揮了十分重要的作用?！?/p>

再次，我們應清楚地看到解題方法的多樣性及其互補關系。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數學課程改革的一個重要特征：“由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應當尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”[7]（53）當然，在大力提倡解題策略多樣化的同時，我們還應明確肯定思維優化的必要性，這就是說，我們不應停留于對于不同方法在數量上的片面追求，而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據不同的情況靈活地去應用各種不同的方法。顯然，后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數學思維的一個重要特點。

最后，我們應清楚地看到在形式和直覺之間所存在的重要的互補關系。特別是，就由“日常數學”向“學校數學”的過渡而言，不應被看成對于學生原先所已發展起來的素樸直覺的徹底否定；毋寧說，在此所需要的就是如何通過學校的數學學習使之“精致化”，以及隨著認識的深化不斷發展起新的數學直覺。在筆者看來，我們應當從這樣的角度去理解《課程標準》中有關“數感”的論述，這就是，課程內容的學習應當努力“發展學生的數感”，而后者又并非僅僅是指各種相關的能力，如計算能力等，還包含“直覺”的含義，即對于客觀事物和現象數量方面的某種敏感性，包括能對數的相對大小作出迅速、直接的判斷，以及能夠根據需要作出迅速的估算。當然，作為問題的另一方面，我們又應明確地肯定幫助學生牢固地掌握相應的數學基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時候能對客觀事物和現象的數量方面作出準確的刻畫和計算，并能對運算的合理性作出適當的說明──顯然，后者事實上已超出了“直覺”的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直覺”以外，著名數學教育家費施拜因曾突出地強調了“算法”的掌握對于數學的特殊重要性。事實上，即使就初等數學而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的：“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠、走不遠，更不能騰飛……可是你要一引進代數方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做，用不著天才人物想出許多招來才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠而且可以騰飛。”[8]這正是數學歷史發展的一個基本事實，即一種重要算法的形成往往就標志著數學的重要進步。也正因為此，費施拜因將形式、直覺與算法統稱為“數學的三個基本成分”，并專門撰文對這三者之間的交互作用進行了分析。顯然，就我們目前的論題而言，這也就更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數學思維的一個重要特點。

綜上可見，即使是小學數學的教學內容也同樣體現了一些十分重要的數學思維形式及其特征性質，因此，在教學中我們應作出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數學思想方法”這一重要目標。

［1］教育部基礎教育司.全日制義務教育數學課程標準解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2002.112.

［2］小學數學教育──智性學習［M］.香港：香港公開進修學院出版社，1995.74.

［3］Didactical Phenomenology of Mathematical Structures［M］.Reidel.1983.116—7.

［4］作為教育任務的數學［M］.上海：上海教育出版社，1995.124.

［5］E Beth，J Piaget.Mathematical Epistemology and Psychology［M］.Reidal.1966.282.

［6］發生認識論原理［M］.北京：商務印書館，1981.79.

［7］中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）［S］.北京：北京師范大學出版社，2001.

［8］數學教育現代化問題［A］.21世紀中國數學教育展望［C］.北京：北京師范大學出版社，1993.19—20.