摘要：“幫助學(xué)生學(xué)會基本的數(shù)學(xué)思想方法”是新一輪數(shù)學(xué)課程改革所設(shè)定的一個(gè)基本目標(biāo)。以國際上的相關(guān)研究為背景，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何突出數(shù)學(xué)思維進(jìn)行具體分析表明，即使是十分初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

一、數(shù)學(xué)化：數(shù)學(xué)思維的基本形式

眾所周知，強(qiáng)調(diào)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征。“數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一定要充分考慮數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中人類的活動軌跡，貼近學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，不斷溝通生活中的數(shù)學(xué)與教科書上數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使生活和數(shù)學(xué)融為一體。”[1]就努力改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育嚴(yán)重脫離實(shí)際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個(gè)問題，即應(yīng)當(dāng)如何去處理“日常數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”之間的關(guān)系。

事實(shí)上，即使就最為初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學(xué)的抽象特點(diǎn)，而這就已包括了由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的重要過渡。

例如，在幾何題材的教學(xué)中，無論是教師或?qū)W生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個(gè)木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個(gè)具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實(shí)上就已包括了由現(xiàn)實(shí)原型向相應(yīng)的“數(shù)學(xué)模式”的過渡。再例如，正整數(shù)加減法顯然具有多種不同的現(xiàn)實(shí)原型，如加法所對應(yīng)的既可能是兩個(gè)量的聚合，也可能是同一個(gè)量的增加性變化，同樣地，減法所對應(yīng)的既可能是兩個(gè)量的比較，也可能是同一個(gè)量的減少性變化；然而，在相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式中所說的現(xiàn)實(shí)意義、包括不同現(xiàn)實(shí)原型之間的區(qū)別（例如，這究竟表現(xiàn)了“二元的靜態(tài)關(guān)系”還是“一元的動態(tài)變化”）則完全被忽視了：它們所對應(yīng)的都是同一類型的表達(dá)式，如4+5=9、7-3=4等，而這事實(shí)上就包括了由特殊到一般的重要過渡。

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，以上所說的可說是一種“數(shù)學(xué)化”的過程，后者集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)：數(shù)學(xué)可被定義為“模式的科學(xué)”，也就是說，在數(shù)學(xué)中我們并非是就各個(gè)特殊的現(xiàn)實(shí)情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現(xiàn)象的模型過渡到了更為普遍的“模式”。

也正由于數(shù)學(xué)的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實(shí)情景，這就為相應(yīng)的“純數(shù)學(xué)研究”提供了現(xiàn)實(shí)的可能性。例如，就以上所提及的加減法運(yùn)算而言，由于其中涉及三個(gè)不同的量（兩個(gè)加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學(xué)的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據(jù)其中的任意兩個(gè)量去求取第三個(gè)量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個(gè)已知數(shù)的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個(gè)數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問另一個(gè)數(shù)是幾？”或者“兩個(gè)數(shù)的差是3，其中較大的數(shù)是4，問另一個(gè)數(shù)是幾？”我們在此事實(shí)上已由“具有明顯現(xiàn)實(shí)意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。

綜上可見，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的一些重要特點(diǎn)，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實(shí)意義與純數(shù)學(xué)研究這兩者之間所存在的辯證關(guān)系。當(dāng)然，從理論的角度看，我們在此又應(yīng)考慮這樣的問題，即應(yīng)當(dāng)如何去認(rèn)識所說的純數(shù)學(xué)研究的意義。特別是，我們是否應(yīng)當(dāng)明確肯定由“日常數(shù)學(xué)”過渡到“學(xué)校數(shù)學(xué)”的必要性，或是應(yīng)當(dāng)唯一地堅(jiān)持立足于現(xiàn)實(shí)生活。

由于后一問題的全面分析已經(jīng)超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點(diǎn)：與現(xiàn)實(shí)意義在一定程度上的分離對于學(xué)生很好地把握相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是十分重要的。這正是國際上的相關(guān)研究、特別是近年來所興起的“民俗數(shù)學(xué)”研究的一個(gè)重要結(jié)論：盡管“日常數(shù)學(xué)”具有密切聯(lián)系實(shí)際的優(yōu)點(diǎn)，但也有著明顯的局限性。例如，如果僅僅依靠“自發(fā)的數(shù)學(xué)能力”，人們往往就不善于從反面去思考問題，與此相對照，通過學(xué)校中的學(xué)習(xí)，上述的情況就會有很大改變，這就是說，純數(shù)學(xué)的研究“在幫助學(xué)生學(xué)會使用逆運(yùn)算來解決問題方面有著明顯的效果”；另外，同樣重要的是，如果局限于特定的現(xiàn)實(shí)情景，所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識在“可遷移性”方面也會表現(xiàn)出很大的局限性。

一般地說，學(xué)校中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對學(xué)生經(jīng)由日常生活所形成的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行鞏固、適當(dāng)重組、擴(kuò)展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數(shù)學(xué)事實(shí)過渡到了系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，以及對于人類文化的必要繼承。這正如著名數(shù)學(xué)教育家斯根普所指出的：“兒童來到學(xué)校雖然還未接受正式教導(dǎo)，但所具備的數(shù)學(xué)知識卻比預(yù)料的多……他們所需要的幫助是從（學(xué)校教學(xué)）活動中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識，同時(shí)需擴(kuò)展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結(jié)合。”[2]

當(dāng)然，我們還應(yīng)明確肯定數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實(shí)生活“復(fù)歸”的重要性。這正如著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對各種不同的集合進(jìn)行計(jì)數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對各種不同的量進(jìn)行度量。……盡管運(yùn)算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個(gè)運(yùn)算──這即是借助于算法所表明的事實(shí)。作為計(jì)算者人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對的文字題中的算術(shù)問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計(jì)算的同時(shí)我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現(xiàn)實(shí)。”[3]

總的來說，這就應(yīng)當(dāng)被看成“數(shù)學(xué)化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實(shí)原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或問題，而且也包括了對于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學(xué)研究，以及由數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實(shí)生活的“復(fù)歸”。另外，相對于具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加注意如何幫助學(xué)生很好地去掌握“數(shù)學(xué)化”的思想，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解“情境設(shè)置”與“純數(shù)學(xué)研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)化……是一條保證實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑……情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法。”[4]

二、凝聚：算術(shù)思維的基本形式

由以下關(guān)于算術(shù)思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對于具體知識內(nèi)容的教學(xué)而言并非某種外加的成分，而是有著重要的指導(dǎo)意義。

具體地說，這正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項(xiàng)重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個(gè)過程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對象去施行進(jìn)一步的運(yùn)算。

例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進(jìn)的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個(gè)加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應(yīng)的和（差）；然而，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運(yùn)算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個(gè)過程，而且也被認(rèn)為是一個(gè)特定的數(shù)學(xué)對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個(gè)“凝聚”的過程，即由一個(gè)包含多個(gè)步驟的運(yùn)作過程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對象。再如，有很多教師認(rèn)為，分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)定義為“兩個(gè)整數(shù)相除的值”而不是“兩個(gè)整數(shù)的比”，這事實(shí)上也可被看成包括了由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說，就分?jǐn)?shù)的掌握而言我們不應(yīng)停留于整數(shù)的除法這樣一種運(yùn)算，而應(yīng)將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對象去實(shí)施加減乘除等運(yùn)算。

對于所說的“凝聚”可進(jìn)一步分析如下：

第一，“凝聚”事實(shí)上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性，即“是把已發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中抽象出來的東西射或反射到一個(gè)新的層面上，并對此進(jìn)行重新建構(gòu)”。[5]這正如著名哲學(xué)家、心理學(xué)家皮亞杰所指出的：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而這種建構(gòu)始終是完全開放的……當(dāng)數(shù)學(xué)實(shí)體從一個(gè)水平轉(zhuǎn)移到另一個(gè)水平時(shí)，它們的功能會不斷地改變；對這類‘實(shí)體’進(jìn)行的運(yùn)演，反過來，又成為理論研究的對象，這個(gè)過程在一直重復(fù)下去，直到我們達(dá)到了一種結(jié)構(gòu)為止，這種結(jié)構(gòu)或者正在形成‘更強(qiáng)’的結(jié)構(gòu)，或者在由‘更強(qiáng)的’結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化。”[6]例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發(fā)展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構(gòu)”。

第二，以色列著名數(shù)學(xué)教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個(gè)階段：（1）內(nèi)化；（2）壓縮；（3）客體化。其中，“內(nèi)化”和“壓縮”可視為必要的準(zhǔn)備。前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應(yīng)的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進(jìn)行反思──我們在此不僅不需要實(shí)際地去實(shí)施相關(guān)的運(yùn)作，還可從更高的抽象水平對整個(gè)過程的性質(zhì)作出分析；另外，相對于前兩個(gè)階段而言，“客體化”則代表了質(zhì)的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現(xiàn)在變成了一個(gè)靜止的對象。容易看出，上述的分析對于我們改進(jìn)教學(xué)也具有重要的指導(dǎo)意義。例如，所說的“內(nèi)化”就清楚地表明了這樣一點(diǎn)：我們既應(yīng)積極提倡學(xué)生的動手實(shí)踐，但又不應(yīng)停留于“實(shí)際操作”，而應(yīng)十分重視“活動的內(nèi)化”，因?yàn)椋蝗坏脑挘筒豢赡苄纬扇魏握嬲臄?shù)學(xué)思維。另外，在不少學(xué)者看來，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳統(tǒng)做法的合理性。

第三，由“過程”向“對象”的過渡不應(yīng)被看成一種單向的運(yùn)動；恰恰相反，這兩者應(yīng)被看成同一概念心理表征的不同側(cè)面，我們應(yīng)善于依據(jù)不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉(zhuǎn)換，包括由“過程”轉(zhuǎn)向“對象”，以及由“對象”重新回到“過程”。

例如，在求解代數(shù)方程時(shí)，我們顯然應(yīng)將相應(yīng)的表達(dá)式，如（x+3）2=1，看成單一的對象，而非具體的計(jì)算過程，不然的話，就會出現(xiàn)（x+3）2=1=x2+6x+9=1=…這樣的錯(cuò)誤；然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作為一種檢驗(yàn)，我們又必須將其代入原來的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，而這時(shí)所采取的則就是一種“過程”的觀點(diǎn)。

正因?yàn)樵凇斑^程”和“對象”之間存在所說的相互依賴、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，因此，一些學(xué)者提出，我們應(yīng)把相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念看成一種“過程—對象對偶體”procept，這是由“過程”（process）和（作為對象的）“概念”（concept）這兩個(gè)詞組合而成的。，即應(yīng)當(dāng)認(rèn)為其同時(shí)具有“過程”與“對象”這樣兩個(gè)方面的性質(zhì)。再者，我們又應(yīng)很好地去把握相應(yīng)的思維過程（可稱為“過程—對象性思維”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“對偶性”，是指在“過程”與相應(yīng)的“對象”之間所存在的相互依存、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系；（2）“含糊性”，這集中地體現(xiàn)于相應(yīng)的符號表達(dá)式：它既可以代表所說的運(yùn)作過程，也可以代表經(jīng)由凝聚所生成的特定數(shù)學(xué)對象；（3）靈活性，是指我們應(yīng)根據(jù)情境的需要自由地將符號看成過程或概念。特殊地，數(shù)學(xué)中常常會用幾種不同的符號去表征同一個(gè)對象，從而，在這樣的意義上，上述的“靈活性”就獲得了更為廣泛的意義：這不僅是指“過程”與“對象”之間的轉(zhuǎn)化，而且也是指不同的“過程—對象對偶體”之間的轉(zhuǎn)化。例如，5不僅是3與2的和，也是1與4的和、7與2的差、1與5的積，等等。

綜上可見，在算術(shù)的教學(xué)中我們應(yīng)自覺地應(yīng)用和體現(xiàn)“凝聚”這樣一種思維方式。

三、互補(bǔ)與整合：數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特征

以上關(guān)于“過程—對象性思維”的論述顯然已從一個(gè)側(cè)面表明了互補(bǔ)與整合這一思維形式對于數(shù)學(xué)的特殊重要性。以下再以有理數(shù)的學(xué)習(xí)為例對此作出進(jìn)一步的說明。

首先，我們應(yīng)注意同一概念的不同解釋間的互補(bǔ)與整合。

具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關(guān)系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認(rèn)識到了的，就有理數(shù)的理解而言，關(guān)鍵恰又在于不應(yīng)停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關(guān)、彼此獨(dú)立的；而應(yīng)對有理數(shù)的各種解釋（或者說，相應(yīng)的心理建構(gòu)）很好地加以整合，也即應(yīng)當(dāng)將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。

例如，在教學(xué)中人們往往唯一地強(qiáng)調(diào)應(yīng)從“部分與整體的關(guān)系”這一角度去理解有理數(shù)，特別是，分?jǐn)?shù)常常被想象成“圓的一個(gè)部分”。然而，實(shí)踐表明，局限于這一心理圖像必然會造成一定的學(xué)習(xí)困難、甚至是嚴(yán)重的概念錯(cuò)誤。例如，如果局限于上述的解釋，就很難對以下算法的合理性作出解釋：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=…

其次，我們應(yīng)注意不同表述形式之間的相互補(bǔ)充與相互作用。

這也正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征，即突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動手實(shí)踐、主動探索與合作交流：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式……教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。”[7]（2）由于實(shí)踐活動（包括感性經(jīng)驗(yàn)）構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)識活動的重要基礎(chǔ)，合作交流顯然應(yīng)被看成學(xué)習(xí)活動社會性質(zhì)的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強(qiáng)調(diào)的是，除去對于各種學(xué)習(xí)方式與表述形式的直接肯定以外，我們應(yīng)更加重視在不同學(xué)習(xí)方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補(bǔ)。這正如美國學(xué)者萊許（R.Lesh）等所指出的：“實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個(gè)方面，其他的表述方式──如圖像，書面語言、符號語言、現(xiàn)實(shí)情景等──同樣也發(fā)揮了十分重要的作用。”

再次，我們應(yīng)清楚地看到解題方法的多樣性及其互補(bǔ)關(guān)系。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特征：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡計(jì)算方法的多樣化。”[7]（53）當(dāng)然，在大力提倡解題策略多樣化的同時(shí)，我們還應(yīng)明確肯定思維優(yōu)化的必要性，這就是說，我們不應(yīng)停留于對于不同方法在數(shù)量上的片面追求，而應(yīng)通過多種方法的比較幫助學(xué)生學(xué)會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應(yīng)用各種不同的方法。顯然，后者事實(shí)上也就從另一個(gè)角度更為清楚地表明了“互補(bǔ)與整合”確應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)。

最后，我們應(yīng)清楚地看到在形式和直覺之間所存在的重要的互補(bǔ)關(guān)系。特別是，就由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的過渡而言，不應(yīng)被看成對于學(xué)生原先所已發(fā)展起來的素樸直覺的徹底否定；毋寧說，在此所需要的就是如何通過學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使之“精致化”，以及隨著認(rèn)識的深化不斷發(fā)展起新的數(shù)學(xué)直覺。在筆者看來，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解《課程標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“數(shù)感”的論述，這就是，課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)努力“發(fā)展學(xué)生的數(shù)感”，而后者又并非僅僅是指各種相關(guān)的能力，如計(jì)算能力等，還包含“直覺”的含義，即對于客觀事物和現(xiàn)象數(shù)量方面的某種敏感性，包括能對數(shù)的相對大小作出迅速、直接的判斷，以及能夠根據(jù)需要作出迅速的估算。當(dāng)然，作為問題的另一方面，我們又應(yīng)明確地肯定幫助學(xué)生牢固地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時(shí)候能對客觀事物和現(xiàn)象的數(shù)量方面作出準(zhǔn)確的刻畫和計(jì)算，并能對運(yùn)算的合理性作出適當(dāng)?shù)恼f明──顯然，后者事實(shí)上已超出了“直覺”的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直覺”以外，著名數(shù)學(xué)教育家費(fèi)施拜因曾突出地強(qiáng)調(diào)了“算法”的掌握對于數(shù)學(xué)的特殊重要性。事實(shí)上，即使就初等數(shù)學(xué)而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的：“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠(yuǎn)、走不遠(yuǎn)，更不能騰飛……可是你要一引進(jìn)代數(shù)方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個(gè)人都可以做，用不著天才人物想出許多招來才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠(yuǎn)而且可以騰飛。”[8]這正是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的一個(gè)基本事實(shí)，即一種重要算法的形成往往就標(biāo)志著數(shù)學(xué)的重要進(jìn)步。也正因?yàn)榇耍M(fèi)施拜因?qū)⑿问健⒅庇X與算法統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)的三個(gè)基本成分”，并專門撰文對這三者之間的交互作用進(jìn)行了分析。顯然，就我們目前的論題而言，這也就更為清楚地表明了“互補(bǔ)與整合”確應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)。

綜上可見，即使是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì)，因此，在教學(xué)中我們應(yīng)作出切實(shí)的努力以很好地落實(shí)“幫助學(xué)生學(xué)會基本的數(shù)學(xué)思想方法”這一重要目標(biāo)。

［1］教育部基礎(chǔ)教育司.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.112.

［2］小學(xué)數(shù)學(xué)教育──智性學(xué)習(xí)［M］.香港：香港公開進(jìn)修學(xué)院出版社，1995.74.

［3］Didactical Phenomenology of Mathematical Structures［M］.Reidel.1983.116—7.

［4］作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.上海：上海教育出版社，1995.124.

［5］E Beth，J Piaget.Mathematical Epistemology and Psychology［M］.Reidal.1966.282.

［6］發(fā)生認(rèn)識論原理［M］.北京：商務(wù)印書館，1981.79.

［7］中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

［8］數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題［A］.21世紀(jì)中國數(shù)學(xué)教育展望［C］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1993.19—20.