摘要：新型的數學作業處理方法是傳統教育思想與建構主義教育思想的產物，這種方法不僅可以使學生系統地學習數學知識，打好堅實的基礎，也能培養學生的數學學習興趣，并且可以培養學生不怕困難、克服困難、勇于探索的精神。教師也可以從機械地布置作業、批改作業的低效勞動中解脫出來，把更多的精力花在對學生的研究、對教學方法的研究上來。不拋棄傳統教育思想的先進部分，努力吸取他國的先進教育思想為我所用，應該是未來教育的發展方向。

關鍵詞：建構主義，協作學習，支架式教學模式，新型的數學作業處理方法。

在我國傳統教育“刺激—接受”的模式下，中小學的大部分數學作業是學生被動完成的。因為教師要求做，學生才完成。而教師的批改，因為時間緊，大部分作業也只是簡單機械地打“√”與打“×”。于是作業“多、空、假”的現象普遍存在。這種現象直接影響著學生的學習興趣，也嚴重地影響教學質量的提高。學生本應該用在學習他們感興趣、有意義的事情上的時間，被許多重復作業無情地奪走；教師把本應該放在教學研究與備課上的時間，全花在了學生作業的機械批改上。這是一種低效的勞動，毫無疑問應該改進。但目前很難看到成功的改進辦法，究其原因是傳統的教育思想的影響根深蒂固地束縛著教師與教育管理者的思想，教師更沒有理由自己去改變這種現狀。要想從根本上改變這種現象，必須從教育思想上提高認識。

一 傳統教育思想與建構主義教育思想的比較

我國的教育思想歷來傾向以教師為中心，“為人師表”，“師道尊嚴”，“傳道、授業、解惑”，這既是我們祖先留傳下來的良好師德，也是以教師為中心的傳統教育思想的真實寫照。這種教育思想的優點是有利于教師主導作用的發揮，有利于教師監控整個教學活動進程，有利于系統科學知識的傳授，有利于教學目標的完成。這種教育思想，對于知識、技能的學習掌握，對于全面打好學生的各學科知識基礎是有利的。

不足之處是由于長期“重教輕學”，忽視學生的自主學習、自主探究，容易造成學生對教師、對書本、對權威的迷信，并且缺乏發散思維、批判思維和想象力，這樣培養出來的大多是知識應用型人才，而非創新型人才。這正是我國當前教育的致命弱點。我國素質教育的指導方針是：“要實施以培養學生的創新精神與實踐能力為重點的素質教育”。如果完全沿用傳統的教育思想我們就不可能培養出21世紀所需要的具有創造精神與合作精神的人才。

但是，來自西方的建構主義認為，知識不是通過教師傳授得到，而是學習者在一定的情境下，借助學習獲取知識過程中的其他人（包括教師和學習伙伴）的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構的方式而獲得。

“建構”同時是建立和構造關于新知識認識結構的過程。“建立”是指從無到有的興建；“構造”是指對已有的材料、結構、框架加以調整、整合或者重組。學習者對新知識的學習，同時包括建立和構造兩個方面，既要建立對新知識的理解，將新知識與已有的適當舊知識建立聯系，又要將新知識與原有的認知結構相互結合，通過納入、重組和改造，構成新的認知結構。一方面新知識由于成為結構中的一部分，就與結構中的其它部分形成有機聯系，從而使新知識的意義在心理上獲得了建構；另一方面原有的認知結構由于新知識的進入，而更加分化和綜合貫通，從而獲得了新的意義，可見建構新知識的過程，既建構了新知識的意義，又使原認知結構得到了重建。

學生與環境的相互作用涉及兩個基本過程：“同化”與“順應”。同化是指把外部環境中的有關信息吸收進來并結合到學生已有的認知結構中，即個體把外界刺激所提供的信息整合到自己原有認知結構內的過程；順應是指外部環境發生變化，而原有認知結構無法同化新環境提供的信息時所引起的學生認知結構發生重組與改造的過程，即個體的認知結構因外部刺激的影響而發生改變的過程。同化是認知結構數量的擴充，而順應則是認知結構性質的改變。學生就是通過同化與順應這兩種形式來達到與周圍環境的平衡：當學生能用現有知識去同化新信息時，他是處于一種平衡的認知狀態；而當現有知識不能同化新信息時，平衡即被破壞，而修改或創造新知識的過程就是尋找新的平衡的過程。學生的認知結構就是通過同化與順應過程逐步建構起來，并在“平衡──不平衡──新的平衡”的循環中得到不斷的豐富、提高和發展。這就是建構主義的基本觀點。

從建構主義的教育思想來看，它更強調對學生的自主性、創造性與合作精神的培養，正好彌補了我國傳統教育的欠缺。由此可見，我國的傳統教育思想與西方建構主義的教育思想是一種互補的思想結構，我們應該在繼承傳統教育的同時，努力地改進我們教育的缺陷，才能達到素質教育的目的。

二 新型作業處理方法的探討與實踐

如果我們拋棄傳統的作業評判方式，從布置作業開始，就應用建構主義的支架式教育模式來設計學生的作業及批改，那么我們的工作將會是怎樣的情況呢？

支架式教學模式的五個主要環節是：

⑴ 搭腳手架──圍繞當前學習主題，按“最鄰近發展區”的要求建立概念框架。

⑵ 進入情境──將學生引入一定的問題情境(概念框架中的某個節點)。

⑶ 獨立探索──讓學生獨立探索。

⑷ 協作學習──進行小組協商、討論。

⑸ 效果評價──對學習效果的評價包括學生個人的自我評價和學習小組對個人的學習評價，評價內容包括：①自主學習能力；②對小組協作學習所作出的貢獻；③是否完成對所學知識的意義建構。

筆者的做法如下：

第一步 教師在新知識教學之后，認真分析各類學生現有的數學基礎，以及他們的最鄰近發展區的數學知識，設計一套題量適當、由淺入深、由易到難的習題，它們分別是基礎題、鞏固題、綜合發展題三種題型，并分類標號，如：A1、 B3、 C1，為學生搭腳手架。

第二步 教師宣布作業不要求上交，學生圍繞教師設計的題與問題盡自己能力想與做，教師只做抽樣調查，但對獨立做完題的或比上次多做題的同學施行獎勵，以此創設問題情景。

第三步 學生從易到難獨立作業。教師明確表示題目可以不做完，但必須完成以下任務：

1. 寫出本次作業中，你獨立完成的題的標號，按做題的順序編排。目的在于搞清學生新舊知識的構建情況，將不同的學生分類，為下一步的教學做準備。

2. 在所做的題中你用到了哪些知識？這些知識你正確掌握了嗎？目的在于梳理知識，考查學生自主學習的能力，為再學習做準備。

3. 寫出本次作業中途卡殼的題的題號。思考卡在哪里？與什么知識有關？目的在于引導學生如何建立知識的聯系，找到問題所在。

4. 寫出不動筆的題的題號，你認為不會做的原因在哪里？目的在于找到學習難點，為尋找幫助者做準備。

第四步 協作學習，要求同學相互交流，但嚴禁抄襲。按下列步驟進行：

1. 公布自己會做題的題號，尋找同號伙伴，相互交流各自的做法，學習別人的不同方法，推出團體的最優方法并將此方法告知老師。

2. 公布自己卡殼題的題號，尋找會做此題的團體，加入其中，尋找卡殼的問題癥結所在，討論解決問題。

3. 公布自己不會做的題號，尋找此題開始卡殼并且現在會做的同學伙伴，加入其中，相互幫助，相互學習討論解決問題。

4. 全體不會做的題，在教師的分層啟發下，教師與同學一起探討完成。

這種充分的信息交流與溝通，相互的學習與幫助，使學生們會做的題數，象滾雪球一樣不斷增大，知識在相互協作的學習中不斷的同化與順應，最后形成意義的建構。

第五步 效果評價 教師應在第三、四步進行的過程中，認真分析學生做題的題號及順序，從中發現學生的問題與知識的欠缺，及時指出，也為后期教學做準備。幫助學生尋找相應的伙伴，并對積極參與活動的同學給予鼓勵，讓有好而新的解題方法的同學充分表現自己。對不同類型學生的作業進行抽樣調查，適時分類指導。對學習確實有困難的同學要認真輔導，耐心幫助，及時鼓勵。

教學實例片段精選：

課題：圖形變換的應用

1 提出問題，創設情境。（造橋選址問題，選自人教版七年級下冊），如圖1，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）看誰能最迅速地架一座最好的橋？

2 分層設題，輔助建架。

A1題：如圖2，A、B是平面上不重合的兩點，在連接A、B的所有連線中，最短的一條是：

A、 線段a ； B、 折線b ； C、 曲線c； D、以上都不對.

A2題：如圖3，已知△ABC及點D，求作△DEF，使△DEF由△ABC平移得來，且點D是點A的對應點。在作圖過程中，想一想哪些線段相等？為什么？

A3題：如圖4，畫出點A關于直線l的對稱點A1. 點B是直線上的另一點，線段AB與A1B相等嗎？為什么？

B1題：如圖6，要在公路m旁建一所小學，使A村、B村到小學的距離之和最小，請作出小學的位置。

分析討論：如圖5，若A、B兩村分布在公路m兩側，則只需連結A、B，AB與公路m的交點C即為所求. 這時，AC+BC =AB. 依據連結A、B兩點的連線中，線段AB最短. 但是此問題中A、B兩村分布在公路m的同側. 因而利用對稱變換作出A點關于公路m的對稱點 A1，就可轉化為前面的情形來解決了.

作法：如圖6，①作A點關于公路m的對稱點A1. ②連結A1B與公路m交于C.

③連結AC、BC，則C就為學校的位置.

B2題：如圖7，在給定的銳角∠AOB內有一點M，試分別在OA與OB上求點P與Q使△MPQ的周長最小.

分析討論：要使△MPQ的周長最小.須使MP+PQ+QM成一條線段. 如圖8，假設△MPQ為所求三角形，延長QP至M1，使PM1=PM，延長PQ至M2使QM2=QM. 則△MPQ的周長為線段M1M2（最短）. 所以此問題關鍵在于確定M1和M2.即利用對稱變換作出M點關于OA和OB的對稱點M1和M2就能解決問題.

作法：如圖8，①作出M點關于OA的對稱點M1，

作出M點關于OB的對稱點M2.

②連結M1M2與OA交于P與OB于Q.

③連結MP、MQ.

則△MPQ為所求作三角形.

B3題：已知點A、B是直線m的異側且到m的距離不相等.

求作：在直線m上求一點，使與點A、B的距離之差為最大.

分析討論：如圖9，作出點B關于直線m的對稱點B1.則直線m上任意一點P1與A、B兩點距離之差等于P1A與P1B1之差. 由于點P1與A、B1不共線，點P1與 A、B1兩點的距離之差總小于AB1，只有當點P1與AB1共線時，點P1與A、B1的距離之差才等于AB1.因而所求的點應為AB1與m的交點P.

C1題：（造橋選址問題，選自人教版七年級下冊）A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）

分析討論：如圖10，因為兩平行線間的距離處處相等，所以橋長MN是不變的（與河同寬）.只須AM+BN最短. 把河岸m1連同A向下平移使兩岸重合，這時A1B就是除去河寬的A到B的最短路徑， 問題轉化為B1題的第一種討論。

作法：如圖10，①過A作AP⊥m2 ，在AP上截取AA1=MN.

②連結A1B與m2交于N點.

③過N點作MN⊥m2與m1交于M點.

④連結AM.

則路徑AMNB最短.

其實，此題將B點向上平移河寬也可以；將點A、點B同時向下、向上平移，使它們移動的距離之和為河寬也可以。同學們可以在此充分討論。

C2題：如圖11，在河流m的同岸有A、B兩個村莊，今欲在河岸m上確定相距a米的兩點C、D，怎樣才能使AC+BD最短.

分析討論：CD=a米是固定不變的，如圖11，把點B沿BM方向向左平移a米，要使AC+CD+BD最短，只要AC+CB1最短，這就同B1題的第二種討論一樣了.

作法：如右圖，①過B點作BM∥m，

在BM上截取BB1=a米。

②作A點關于m的對稱點A1.

③連結A1B1與m交于C點.

④在m上截取CD=a米.

⑤連結AC、BD.則所求作的AC+BD最短.

經過這樣的處理，學生不再把作業當成負擔，而是把作業作為一種游戲來完成，在作業的過程中，學生感覺到了相互協作的重要性，在不斷地克服困難，最后解決問題的探索中，培養學生的毅力與自信心，增強學生學習數學的積極性。

通過幾年的實踐，筆者深切地感到，傳統的教學模式與建構主義的教學模式的結合，不僅可以使學生系統的學習數學知識，打好堅實的基礎，也能培養學生的數學學習興趣，并且培養了學生不怕困難、克服困難、勇于探索的精神，許多新穎的解題方法就是在協作討論中形成的。教師也可以從機械地布置作業、批改作業的低效勞動中解脫出來，把更多的精力花在對學生的研究、對教學方法的研究上來。不拋棄傳統教育思想的先進部分，努力吸取他國的先進教育思想為我所用，應該是未來教育的發展方向。

1 何克抗 從Blending Learning看教育技術理論的新發展 北京師范大學現代教育技術研究所

2 趙建華 李克東 協作學習與協作學習模式 華南師范大學教育技術研究所