摘 要 本文從素質教育觀出發，從構建素質化的教學目標和構建素質化的課堂教學過程兩方面談高中數學課堂教學設計。

需要指出的是，體現素質教育的全面性，并不是要求每節課都面面俱到，也不是在教育目標上搞平均化，更不是要求每個學生平均發展，而是要根據不同的教學內容和不同的對象，充分利用知識的文化價值和育人功能，進行課堂目標的科學設計，提高教學目標的針對性和實效性，使學生實現個性發展和全面發展的統一.

二、構建素質化的教學過程，培養學生的創新思維

素質教育的核心就是創新教育，這已成全社會的共識.然而如何培養學生的創新意

識、創新精神和創新能力，卻是一項復雜的工程，也是當前學校教育的根本任務.更是課堂教學中需要認真對待和研究的.

1. 引導學生逆向思維，培養思維的發散性

在研究問題的過程中，引導學生有意去做與習慣思維方法完全相反的探索，這種思維方法無疑地是發散思維的一種．事實上，關于“逆”的思維方法在中學數學教材中隨處可見．如乘法和除法、乘方和開方、定理和逆定理、命題和逆命題、微分和積分、進與退、動與靜、……．而培養學生的逆向思維能力，主要抓：

(1)公式、法則的逆用

在不少數學習題的解決過程中，都需要將公式變形或將公式、法則逆過來用，而學生往往在解題時缺乏這種自覺性和基本功．因此，在教學中應注意這方面的訓練，以培養學生逆向應用公式、法則的基本功．

例1 設n∈N，且n≥3，試證

分析 初看此題，覺得無從下手，但仔細分析要證的結論，發現不等式左邊的指數 ，這里就是等差數列求和公式的逆用．再注意到底數2，不難想到組合數公式 ，逆用該公式，問題得證．

證明 ≥3， ∴

又 =

>

∴

(2)常規解題方法的逆用

在研究、解決問題的過程中，經常引導學生去做與習慣性思維方向相反的探索．其主要的思路是：順推不行就考慮逆推；直接解決不了就考慮間接解決；從正面入手解決不了就考慮從問題的反面入手；探求問題的可能性有困難就考慮探求其不可能性；用一種命題無法解決就考慮轉換成另一種等價的命題；…….總之，正確而又巧妙地運用逆向轉換的思維方法解數學題，常常能使人茅塞頓開，突破思維的定勢，使思維進入新的境界，這是逆向思維的主要形式.

例2 為哪些實數值時， 的任何實數值都不滿足不等式

分析 這道題若從正面考慮則較困難，若改為： 為哪些實數值時， 的任何實數值都滿足不等式 ≥0 ？問題即可迎刃而解.

解 當 ≠-1時，函數 的圖象是一條拋物線.

∵ ≤0

∴這條拋物線的頂點在x軸上，且開口向上，故有

由(1)得

由(2)得

綜合得

∴當 時， 的任何值都不滿足這一不等式.

2．改封閉型題目為開放型或半開放型題目，多給學生提供猜想的機會

對于教材中直接采用“已知、求證、證明”的方式機械地傳授知識的封閉題(這類封閉式的題目比比皆是)，教師也應有意識地把它改造成開放題，然后引導學生運用歸納的方法得出一般的結論，然后再證明.

例3 已知 -1且 且 ≥2，求證: > (代數下冊第119頁例5).

教師在講解這道題時，可將它改為: 已知 >-1且 且 ≥2，試比較 和 的大小.

令 時， ；

令 時， ；

令 時， .

從而歸納出 > . 最后引導學生用數學歸納法證明.

3．抓好類比能力的培養，為猜想提供依據

由于獲得猜想的主要途徑是通過歸納和類比.因此，在教學設計中，抓好歸納和類比能力的培養就顯得十分重要.

“類比是發現的泉源”，它是獲得數學猜想的一種基本方法.

例4 已知 、 、 >0，且 ，求證： ≥9.

這是一道常見的題目，用柯西不等式很容易解決.若根據“ ”與“cos2 +cos2 +cos2 =1”相類比，可得到如下的創造性解法.

證明 設 cos2 ， cos2 ， cos2 (0o< ， ， <90o).由 ，得cos2 +cos2 +cos2 =1.

由上式知，可構造一對角線長為 ，且對角線與棱 、 、 的夾角分別為 、 、 的長方體 .

∴

=

≥ .

必須指出的是，由歸納和類比猜測得到的結論是不可靠的，只有經過邏輯推理的方法證明才能肯定其真假性.

實踐證明，在數學教學中滲透猜想可以開闊學生的思維空間，指明解題方向，通過使一些原來“山窮水盡”的題目轉為“柳暗花明”，提高了解題能力，提高了創新思維的能力.

4．改封閉型題目為探索性題目，培養學生的探索能力

例5 用數學歸納法證明

(1) ； (2) .

可將它改變為探索性問題:

是否存在實數 ，使下列式子成立，如存在，求出 的值；如不存在，請說明理由.

(1) ； (2) .

課本中，一般用數學歸納法證明的恒等式問題，都可以改編為探索性問題.

例6 用數學歸納法證明 (代數下冊第116頁的例1).

將它改為只探索一個常數的題目：

是否存在實數 ，使下列等式成立，如存在，求出 的值；如不存在，說明理由：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) .

也可改為探索二個常數的題目：

是否存在實數 、 ，使下列等式成立，如存在，求出 、 的值；如不存在，說

明理由：

(5) .

從能力立意的角度來看，原題只是培養了應用數學歸納法解決問題的能力，而改變

后的題目，還培養了學生的探索能力.

5．確定答案改題目，培養學生的創新思維能力

為使學生的創造思維能力得到培養和強化，教師在編造題目時，應注意將常規題目“倒過來”，以培養學生的逆向思維習慣.

例7 直線 被圓 截得的弦長是( )

2

容易求得此題的答案為( )

在講解此題后將它改為：

(1)直線 被圓 截得的弦長是 ，則

(不必細算知，通過直觀觀察知有一個 =6).

(2)直線 被圓 截得的弦長是 ，則

(不必細算知，有一個 =4是肯定的).

(3)直線 被圓 截得的弦長是 ，則

， (不必細算，通過直觀觀察知有一個 =4， ).

這樣編出來的題目(現編現講)，學生的解題思路非常清楚，記得牢.另外還有一個好處：學生也會學著編題—培養了學生的創新思維能力.當然，這樣編出來的題目，答案不一定是唯一的，還要求解出來.

6.重視運用其它學科知識解決數學題

運用數學知識解決其它學科的問題，可以說是順理成章的.然而運用其它學科的知識來解決數學問題，一般說來，是不夠重視的.事實上，有很多數學問題用其它學科知識來解決，顯得相當簡捷.

例8 O為 內任一點，連結 、 、 ，并延長分別交對邊于 、 、 .求證:

(1) ；

(2) ；

(3) ≥6；

(4) ≥27.

證明 在 、 、 三點放置的質量分別為 、 、 ，則點 、 、 、O的質量分別為 、 、 、 .

由物理中的杠桿原理得

(1)原式= = ；

(2)原式= ；

(3)原式= ≥2+2+2=6；

(4)原式= ≥ =27.

7．重視多學科的溝通

隨著新教材的實施和教學改革的不斷深入，作為工具性學科的數學將和其它學科的聯系更加緊密，所以數學知識的多角度應用將是我們需要研究的課題，在高中物理、生物、化學等的習題中，有些也可以通過構建數學模型來解決問題，從而可培養學生的跨學科的綜合能力.限于篇幅，這里僅舉與生物和地理相關的題目各一例.

例9 一對表現型正常的夫婦，生了一個白化色盲的兒子，則他們再生一個孩子患白化色盲的幾率為多少？

分析 據雙親及其所生兒子的表現型推知：母親基因型是 ，父親基因型是 ，由此確定兩種遺傳病在孩子中出現的概率為 ，色盲概率為 ，由加法原理知：白化色盲在孩子中的發生率為 .

例10 我國土地面積約為 ，大部分位于地球的北溫帶，試問我國領土是北溫帶面積的百分之幾？

分析 解此題的關鍵是理解地理學中北溫帶的概念。由地理知識可知北溫帶是指北緯 至北緯 ，因此，只要計算北緯 至北緯 的球帶面積即可.解略.

在課堂教學中，除了以上談的有系統地進行培養外，還應經常鼓勵學生突破舊有相關知識的局限，不因襲前人，敢于提出“出人意料的問題”、“出人意料的解決辦法”；鼓勵學生“別出心裁—標新立異—異想天開”.這樣，培養學生的創新思維能力的目的是能夠達到的.