【摘要】 羅列醫學研究中經典的5種數學模型，闡述數學建模在醫學研究中的重要意義，總結在臨床實踐過程中可能運用數學建模解決的實際問題。

【關鍵詞】 醫學研究 數學建模 臨床實踐

Mathematical Modeling in Medical Research

Abstract Explain the mathematical modeling’s meaning on five kinds of classics medical model，summarize the experience and promote the using of mathematical modeling of clinical practice.

Key words medical research; mathematical modeling; clinical practice

醫學研究主要使用的是實驗方法，但數學的方法也滲透其中。數學的高度抽象性決定了數學應用的廣泛性，它在農、林、醫、經濟、交通、能源等各領域的研究中越來越重要，在這些實際問題中常常需要建立數學模型來選優、預測。數學建模在醫學中的應用，如藥物性能的比較、傳染病的預測和控制、病情的診斷等等，有著十分重要的地位和顯著的效果。醫學上治療方法的效果、新藥的療效等，都要通過臨床試驗，產生大量的數據，然后通過統計分析，得出相應的結果加以評判。大量的醫學研究，從頭至尾都用到統計方法，包括實驗設計(正交設計、均勻設計等)、數據采集與整理、數據分析(參數估計、假設檢驗、回歸分析、統計描述等)等方法。總的來講常用的有兩大類數學方法:統計分析方法和數學模型方法。統計分析方法是醫學中用得最多、最深入也很有效的數學方法，但另一方面，在對某些醫學問題進行機理分析時，數學模型的方法用得較多，而且十分有效。

1 醫學研究中的數學模型方法

這里所指的數學模型方法主要指用于描述醫學中某些機理而用的數學方法，我們從5個經典的醫學數學模型談起。

1.1 健康與疾病預測模型

人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態，設對特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態的概率為0.8， 而今年患病、明年轉為健康狀態的概率為0.7，若某人投保時健康， 問10年后他仍處于健康狀態的概率。 馬氏鏈中的正則鏈模型： 0.8w1+0.7w2=w10.2w1+0.3w2=w w滿足∑ki=1wi=1解得：w=(7/9，2/9)，10年后健康的概率是7/9，患病的概率是2/9。

若考慮第3種狀態——死亡，則可參考馬氏鏈中的吸收鏈模型，在此不做詳述。

另外，馬氏鏈模型還可以用于解決遺傳病的問題，人類的許多疾病如白化病、色盲、多指等，都可以建立模型估計后代的發病率［1］。

1.2 藥代動力學模型

藥物在體內分布、吸收、排出的規律是藥物研究必然關心的問題，試驗的方法能有助于了解規律，但真正揭示規律還是有賴于數學模型的描述，主要用到模室模型的方法。通過假設人體是一個室、兩個室、多個室等，可相應地得到一室模型、二室模型、多室模型等。室模型的建立還與給藥方式有關，通常的給藥方式有:快速靜脈注射、恒速靜脈滴注、口服或肌肉注射。我們以恒速靜脈滴注的一室模型為例：

x(t)表示t時刻體內的藥量，k0為給藥速率，藥物消除為一級速率過程，消除速率常數為k，則容易得到如下的一室模型: dx(t)dt=k0-kx(t)x(0)=0

這個模型是數學上的微分方程初值問題，我們很容易求出它的解來，即:

x(t)=k0k(1-e-kt)

容易看出t→∞時，x(t)趨近于一固定值k0/k，令x(t)=x0/2，求出t1/2，這便是藥品性能的重要指標半衰期，即藥物進入體內后消除一半所花的時間。對一特定藥品，通過實驗測量，估計出k0和k，我們便掌握了它在體內變化的主要規律。

數學模型的方法能揭示一般性的規律，而要從種種特定的研究中總結出一般性規律是很困難的，因而對問題的機理進行數學抽象研究是十分有效的。

1.3 醫生決策模型

例如，對某種病有以下統計結果：

治愈癱瘓死亡等待a1a2a3治療b1b2b3

醫生可根據經驗或是統計的病歷建立統計模型分析，等待與治療之間有沒有顯著性差異，即治療是否有效，此模型表達了大夫能做什么，可能出現的結果，可使我們明確大夫的決策取決于目標的設定及治療原則等。在此，由于沒有足夠的數據，所以僅能提供一種模型（方差分析），供有臨床經驗的醫生參考。 1.4 傳染病模型

長期以來，建立傳染病的數學模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數的變化規律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是醫學專家和政府關注的課題，特別是2003年SARS病毒突襲人類，更引起人們對傳染病傳播機理的關注。基于一定的假設，采用微分方程(組)作為工具，我們容易描述出傳染病的傳播規律。假設人群分為健康者和病人，且兩者可相互轉化，則有如下SI模型: Ndidt=λNsi-μNi

其中:N，i，s都是時間t的函數，N(t)是t時刻傳染病考察地區的總人數，s(t)與i(t)是t時刻健康者和病人所占比例，λ是病人的日接觸率，μ是健康人的日接觸率。

對這個模型的求解分析，知道λ>μ時，病人比例i(t)在t→∞時趨近于固定值(1-μ/λ);而λ<μ時，病人比例i(t)在t→∞時趨近于0。另外還可求出di／dt達到最大時的時刻tm，這個時刻可以認為是醫院門診量最大的一天，預示著傳染高峰的到來，這些結論對衛生行政部門組織治療提供了重要參考。

如果考慮病人治愈后有免疫能力，即健康人中有一部分(病愈者)不會轉化為病人了，需要建立新的模型。傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統，稱移出者，假設總人數N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為i(t)、s(t)、r(t)，模型變為所謂的SIR模型： s(t)+i(t)+r(t)=1 N［i(t+Δt)-i(t)］=λNs(t)i(t)Δt-μNi(t)Δtdidt=λsi-μisdt=-λsii(0)=i0，s(0)=s0i0+s0≈1(通常r(0)=r0很小) N［s(t+Δt)-s(t)］=-λNs(t)i(t)Δt通過求解可得：i(s)=(s0+i0)-s+1σlnss0，其中σ=λ/μ。 分析結果：

s0>1／σ(P1)→i(t)先升后降至0，傳染病蔓延；

s0<1／σ(P2)→i(t)單調降至0，傳染病不蔓延。

從而可得到傳染病不蔓延的條件：s0<1-σ 。

提高閾值1／σσ(=λ／μ)↓λ↓，μ↑

λ(日接觸率)↓ 衛生水平↑，μ(日治愈率)↑ 醫療水平↑

降低s0(s0+i0+r0=1)r0↑提高群體免疫［2］。

1.5 減肥計劃——節食與運動模型 肥胖是一種病，并且可以導致其它多種病的發生。體重指數BMI=w(kg)/l2(m2)。 18.525～超重; BMI>30～肥胖。減肥成為人們追求的一種時尚。通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體的前提下達到減輕體重并維持下去的目標。

（1）不運動，只節食的模型： w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)

α：每8000千卡增加體重1千克，即α=1/8000(千克/千卡)；w(k)：第k周(末)體重；c(k)：第k周吸收熱量；β：代謝消耗系數(因人而異)。

（2）運動加節食的模型：

w(k+1)=w(k)+c(k+1)-(β+αγt)w(k)

γ:每小時每千克體重消耗的熱量(千卡 )；t:每周運動時間(小時)。

用數學模型的方法研究問題，不僅揭示了問題的內在規律，而且節省了成本或克服了實驗的困難。我們不必重復地做實驗得到數據，再通過統計分析來得到傳染病的傳播規律，問題中的參數改變，只須重新求解數學模型便可討論系統受到的影響而不必重新做實驗。

2 醫學研究中使用數學模型方法的重要意義

2.1 有利于揭示研究對象的本質規律

對象機理的探討，實驗的方法只能給出研究方向的揭示，規律本身的表述有賴于數學的刻劃，如對DNA結構的刻劃可使用拓撲學的方法。

2.2 有利于以較小的代價進行重復和快速的實驗，從而探索新的規律

對已知問題進行數學刻劃，建立它的數學描述，能為我們提供一個成本低廉的模型，它能模擬真實的對象，進而模擬對真實對象所作的實驗，這樣能大大降低成本，提高速度。例如心臟搭橋手術是一個高難、危險的手術，術前對病人心臟進行全面的分析以便確定最佳的手術方案是必要的，人們便利用數學方法通過計算機造出病人心臟模型，對各種手術方案進行比較、評價、選擇，這種比選顯然是實際操作不可能做到的。使用數學模型方法，能顯著地促進醫藥研究。

3 數學模型在其他臨床實踐方面的應用

3.1 泌尿系統結石性質的測定

CT作為一種重要的影象學診斷方法，已經成為現代醫學檢查中一個不可缺少的部分。泌尿系統結石是泌尿科的一個常見病，往往由于結石的性質沒搞清就動手術。其實由于各種結石的化學組成不同，那么它們所對應的CT值就不同，測定不同結石所對應的CT值，經過統計分析，得出各種結石所對因應的CT值范圍，那么，泌尿系統結石的病人只需做CT檢查就可知道結石是草酸鈣結石或是尿酸鈣結石，或是其它性質，這樣就有助于對癥下藥了。這種方法還可以用于身體其它部位的檢查，用于疾病的鑒別診斷。

3.2 手術指征的量化

對于外科來說，最難確定的就是該不該手術，這就需要對病人的身體情況做一全面的估計。不同病的手術適應征不同，對于不同的病劃分不同的層次，建立層次分析法模型，估計對于某種特定病的身體狀況評分，則這種病的手術適應征評分就在一個閉區間內，評分過高，病人不能耐受手術；評分過低，可以采取保守治療。顯然，在這個模型中存在一個問題，就是層次的劃分及各層次的權重。這項工作就需要臨床經驗豐富的醫生或是科室主任來完成，供一線醫生參考。有了手術指癥的量化標準，剛進入臨床的醫生就能更快地進入角色。

4 結束語

數學模型方法對醫學研究具有重要作用，但目前醫學研究人員對此重視不夠，再加上醫學生的數學課程太少，醫學研究中的數學方法很少，這已影響了現代化醫學的進程。一門科學只有運用了數學，才能達到完善的程度，所以對醫學生進行數學建模方法和能力的訓練是十分必要的。