摘要：數學是一門應用廣泛的學科，加強學生應用能力的培養是高等數學課程教學的重點之一。數學模型是溝通實際問題與數學工具之間的橋梁。利用數學建模可提高學生學習數學的興趣，培養學生運用數學的能力。

關鍵詞：高職；數學模型；應用能力

數學最顯著的特點之一就是其應用極其廣泛。在我們日常生活中隨處都能找到數學的影子。在社會生活的各個領域，都在運用著數學的概念、法則和結論。很多看似和數學無關的問題都可以運用數學工具加以解決。但很多高職學生由于基礎薄弱，學習數學的興趣不高，不知道數學有什么用途，他們認為數學是枯燥無味的，學習數學就是為了應付考試。而現在數學素養已成為公民文化素養的重要內容，更是大學生不可或缺的基本素質。高等數學教學一個很突出的方面就是培養學生的應用能力。數學模型是溝通實際問題與數學工具之間的橋梁，建立和處理數學模型的過程，實際上就是將數學理論知識應用于實際的過程。本文擬就數學模型在教學中的應用作粗淺探討。

重視知識應用過程，提高學生學習數學的興趣

學生能否對數學產生興趣，主要依賴于教學過程，與教學內容和教學方法的選擇和應用密切相關。因此，教師必須在教法和學法指導上多下工夫，狠下工夫，從數學應用的角度處理數學、闡釋數學、呈現數學，以提高學生的數學理論知識和操作水平；必須加強數學應用環節的實踐，注重用數學解決學生身邊的問題，用學生容易接受的方式展開數學教學，注重學生的親身實踐；必須重視在應用數學中傳授數學思想和方法，把培養學生解決實際問題的能力作為教學內容的主線，運用“問題情境—建立模型—解釋與應用”的教學模式，多角度、多層次地編排數學應用的內容，有效地激發學生的學習興趣。

例1：7只茶杯，杯口全部向上，每次翻轉其中的4只(杯口向上的變為杯口向下，杯口向下的變為杯口向上)。能否經過有限次的翻轉，使得7只茶杯的杯口全部向下？

分析：將7只茶杯用字母分別表示為Ａ1、Ａ2、…Ａ7，茶杯的杯口朝上記為Ａi=+1，杯口朝下記為Ａi=－1（ｉ=0，1，2，…7），每次翻轉改變其中的4只杯子的杯口方向，相當于7個字母中的4個字母取值改變符號，即相當于將其中4個字母各乘以－1。

問題歸結為：已知7個字母Ａ1、Ａ2、…Ａ7，在開始時全部取值為+1，每次改變其中4個字母的符號，經過有限次后能否將7個+1變為7個－1？

解析：考察經過第ｉ次翻轉的7個字母的乘積Ｍi=Ａ1Ａ2…Ａ7，開始的時候相當于7個字母取值全為+1，它們的積Ｍ0=Ａ1Ａ2…Ａ7=（+1）7=+1；經過一次翻轉后，Ｍ1=Ａ1Ａ2…Ａ7=Ｍ0（－1）4=+1；經過兩次翻轉后，Ｍ2=Ａ1Ａ2…Ａ7=Ｍ1（－1）4=+1；……所以不論經過多少次翻轉，7個字母的乘積保持不變，仍為+1。另一方面，杯口全部朝下，相當于7個字母全部取值為－1，它們的乘積是－1。這就表明，經過有限次的翻轉，7個+1絕不會變為7個－1。因此，經過有限次的翻轉，不能使7只茶杯的杯口全部朝下。

例2：某人第一天上午8點由山下出發，下午15點抵達山頂；第二天上午8點由山頂出發按原路返回，并于下午15點回到山下原出發點。問在兩天的行程中是否存在這樣一個點，該人經過這個點時，兩天的手表指向同一時刻？

分析：這個問題初看起來不容易得到答案。我們可以換一個角度思考，把該人在兩天中做的事改到同一天中來做，設想將這個人再“克隆”出一個人來，上午8點該人由山下出發，而“克隆人”同時由山上出發，由于走的是同一條路線，因此該人與其克隆人必定在中途相遇，在相遇點處，則手表指向同一時刻。

下面用數學工具證明。該問題與行走的路線長度、形狀無關，不失一般性，不妨設行走的路線是線段ＡＢ，設行走的時間ｔ是位置ｘ的連續函數。

第一天，Ａ→Ｂ，設ｔ=ｆ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｆ（Ａ）=8，ｆ（Ｂ）=15；第二天，Ｂ→Ａ，ｔ=ｇ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｇ（Ａ）=15，ｇ（Ｂ）=8。

問題歸結為：已知連續函數ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｆ（Ａ）=8，ｆ（Ｂ）=15；ｇ（Ａ）=15，ｇ（Ｂ）=8。求證：存在點ｘ0∈[Ａ，Ｂ]，使得ｆ（ｘ0）=ｇ（ｘ0）。

證明：設Ｈ（ｘ）=ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）Ａ≤ｘ≤Ｂ，則Ｈ（ｘ）也是連續函數，且Ｈ（Ａ）=ｆ（Ａ）－ｇ（Ａ）=8－15<0，Ｈ（Ｂ）=ｆ（Ｂ）－ｇ（Ｂ）=15－8>0，因此存在ｘ0∈[Ａ，Ｂ]，使得Ｈ（ｘ0）=0，即ｆ（ｘ0）=ｇ（ｘ0）。

通過趣味數學應用的案例分析與數學建模，體現了數學應用的廣泛性，在一定程度上幫助學生看到數學生動、有趣、甚至好玩的一面，以豐富數學學習的內容，提高學生學習數學的積極性、主動性、探索性。 另外，課堂教學中應充分發揮學生的主體作用和教師的主導功能。教師可根據教學內容的特點，精心組織、科學設計，把抽象的概念、深奧的原理，寓于生動、有趣的典故、發現史中，適當、合理地運用圖片、模型、多媒體教學等手段，促進理論與實際的有機結合，使學生產生濃厚的學習興趣。只有當學生有了學習興趣，思維達到“興奮點”，才能帶著愉悅、激昂的心情去面對和克服一切困難，執著地去比較、分析、探索認識對象的發展規律，展現自己的智能和才干。這無疑是讓學生體驗成功的重要舉措，更是提高學生數學興趣的有效途徑。當學生應用數學知識去解決了一個個實際問題，他們的學習興趣必將被更進一步地激發起來，成為進一步學習的內驅力。

通過“數學建模”活動和教學，培養學生運用數學的能力

培養學生數學應用能力是高職數學教育的根本任務，是數學教學目的中的重要內容。數學應用能力是一種綜合能力，它離不開數學運算、數學推理、空間想象等基本的數學能力。應把應用問題的滲透和平時教學有機地結合起來，循序漸進。在數學應用意識和能力的培養中，應特別重視學生探索精神和創新能力的培養，把數學應用問題設計成探索和開放性試題，讓學生積極參與，在解題過程中充分體現學生的主體地位。在運用數學知識去解決實際問題時，首先要建構實際問題的數學模型，然后用數學理論和方法找出結果并用于實際，這樣既可解決實際問題，又能促進數學新思想、新理論的建立和發展。因此“數學建模”是溝通數學理論與實際的中介和橋梁，培養學生“數學建模”能力是培養學生數學思維和應用能力的重要手段，在教學過程中穿插建模能力訓練對學生是十分必要的。培養學生建模能力是一個循序漸進的過程。開始應從簡單問題入手，師生共同創建模型，引導學生初步掌握應用數學形式建構模型的方法，培養學生積極參與和勇于創造的意識。隨著學生能力和經驗的增加，可通過實習作業或小組活動的形式，由學生展開分析討論，分析每種模型的有效性，提出修改意見，討論是否有進一步擴展的意義。這樣可以糾正學生理解上存在片面性的問題，在不斷發展、不斷創造中培養信心。雖然高職學生的數學基礎知識對于某些數學模型的建立略顯不夠，但只要花很短的時間補一下，還是可以解決問題的，關鍵是培養學生如何將所學數學理論與實踐相結合的能力。

例如，高等數學中一個非常簡單的一階微分方程ｄxｄt=ｒx（ｘ－ｋ）在商業上可解釋為新產品的銷售模型，在醫學上可解釋為傳染病的傳播模型，在生物學方面，它就是著名的Logestic模型，用以解釋生物在一定約束條件下的數量增長模式。這樣，簡單的數學問題便得以廣泛地應用。通過這樣的教學過程能夠使學生開闊眼界，將數學知識應用到實際生活之中。

結合專業，提高學生應用數學的能力

在“數學建模”課程中，除介紹一些社會或經濟中的數學應用問題外，還要根據不同專業對數學的應用水平及方法的不同要求，總結數學應用的內容、方法的差異性，找到各專業與數學的結合點，用具體的專業例子，歸納應用數學的各種模型，并以此為例，培養各專業學生應用數學的興趣。一般來講，對一個專業問題，要建立一個數學模型，就必須了解專業上的一些規律和經驗，提出許多與量有關的合理假設。根據專業知識，利用規律，通過一些數學方法，如微元法等，列出等式，即可建立一個數學模型。建立了數學模型，就找到了實際問題的規律及解釋方法。數學模型可以表現為專業公式或定性結果等。有了這樣的初步認識，學生就可以知道，要想建立模型，首先，要進行專業性的實驗、調查、分析，得到反映問題本質的量的概念、量之間的關系以及影響結果的一些因素；其次，需分析這些因素之間以何種形式相互影響，是否要利用其他的基礎學科，如物理學、力學等的規律，繞開次要因素，簡化因素間的影響關系，作出合理簡化假設；最后，根據問題的性質如連續型、離散型、隨機型、模糊型等，列出數學方程或函數、限制條件等，將專業問題完全轉化為一個數學問題，用我們學過的數學方法解決它。例如，在機械專業的《機械設計》中二級圓柱齒輪減速器的傳動比最優分配模型為minｆ（Ａ）=2Ａ（ｉ+ｉ－1+2）/d，其中，Ａ為中心距，d為齒輪分度圓直徑，ｉ為等級減速比。該模型根據幾何原理即可得出，它是一個一維無約束最小化問題d。在實際教學中，有許多專業問題學生都能夠利用所學的專業知識和數學知識建立數學模型，這樣既復習了所學數學知識，又提高了解決專業實際問題的能力。

總之，數學建模解決問題的實質是學生運用數學的思想、觀點、方法等與客觀世界相互作用，最終達到解決實際問題為目的的創造性活動。建模的整個過程是數學應用能力的綜合體現，也為培養學生這方面的能力提供了一個有益的途徑。

參考文獻：

[1]唐煥文，賀明峰.數學模型引論（第2版）[M].北京：高等教育出版社.2001.

[2]徐全智，楊晉浩.數學建模[M].北京：高等教育出版社，2003.