論文摘要：在HJM框架下，利用鞅方法等隨機分析工具，考慮了與債券期貨價格相關聯的回望型外匯重置期權的定價問題，并得到了此類期權的定價公式。

論文關鍵詞：框架，外匯期權，重置期權，鞅

1市場模型及預備知識

考慮一個連續交易的的完全金融市場，交易時間為 。在概率空間 中，W為概率空間上d維標準布朗運動．在上述概率空間中，HJM框架下的遠期利率模型為：

匯率過程所滿足的微分方程為：

其中k {d，f}(d代表本國，f代表外國)， 為k國的遠期利率， 和 為取值于R的有界函數， 和 為取值于 的有界函數，“ ”代表 上的歐氏內積， 為t時刻的匯率，表示一單位的外國貨幣可以轉化為 單位的本國貨幣。

定義U時刻到期的k國零息票債券在t時刻的價格為：

單位的k國貨幣的銀行存款在t時刻的價值為 ，其中 為t時刻k國的即期利率。以k國貨幣計價，U時刻到期，T時刻交割的零息票債券的遠期價格和期貨價格分別記為 和 ，且

則由 引理可得：

其中 ，

引理 ：以k國貨幣計價的零息票債券的價格 在k國測度 下滿足微分方程：

0(3)

在本國概率測度 下，匯率過程滿足的微分方程為：

(4)

對任意關于 可測的隨機變量X，在本國概率測度 和外國概率測度 下有如下關系：

(5)

一單位零息票債券的遠期價格 和期貨價格 滿足如下關系：

(6)

引理 0：在概率空間 中，對于任意時刻t ，當Random-Nikodym導數滿足如下法則：

(7)

時，就稱與本國概率測度 等價的新概率測度 為遠期鞅測度.

引理 ：任意X和Y，設 為它們的均值， 為它們的方差，則X的概率分布為：

(8)

2新型外匯重置期權定價

與債券期貨價格相關聯的外匯重置看漲期權在到期日時刻的收益可以分別表示為：

其中敲定匯率 和障礙價格 以本國貨幣計價，

定理1：定零息票債券的到期日為U，期貨合同的交割日期和該期貨期權的的執行日均為T，則與債券期貨價格相關聯的回望型外匯重置看漲期權在時刻t=0時的定價公式為：

證明：由引理1的(5)可得：

則引理 的(9)則可變為：

所以：

令 ，由Girsanov定理可知存在如下關系：

由引理2可知： 所以 由(6)式和 可得

由(4)，(5)，(7)和 引理可得：

所以

+

所以

+ (15)

令

把(15)代入 ，把(14)代入 ，可推出：

由Girsanov定理可知：

在新的鞅測度 和 下 就就變形為：

令、

為了以后的計算方便，現定義以下記號： ；

當t=0時，由引理3可計算出計算 ：

同理可算出 和 的值：

在零時刻，我們現在計算 的值

=

=

由引理3可知：

令 ，密度函數 =

經計算可得：

把 帶入到V中，即可得到定理1的結果。

2 Musiela M，Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modelling [M]，

3 Steven Shreve.Stochastic Calculus and Finance [M].Carnegie Mellon University.

4 Chen Songnan. Financial Engineering [M]Shanghai : FuDan University Pubilishing Company ，2002， 187~204，303~311.