提要對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要組成部分，它普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。本文討論數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美，并給出了對(duì)稱美在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)美；對(duì)稱美；對(duì)稱性

引言 古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾說(shuō)：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美，哪里就有發(fā)現(xiàn)……”數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)力量的感性和理性的顯現(xiàn)，是自然美的客觀反映，是科學(xué)美的核心。數(shù)學(xué)美的內(nèi)容十分豐富，對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要組成部分，它普遍存在于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。 一、數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美 （一）代數(shù)中的對(duì)稱美。對(duì)稱是代數(shù)中隨處可見(jiàn)的現(xiàn)象。譬如，實(shí)數(shù)a與-a互為相反數(shù)，復(fù)數(shù)a+bi與a-bi互為共軛復(fù)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，（u+v）'＝u'+v'，（uv）'＝u'v+uv'，這些有著明顯的對(duì)稱性。還有，原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，都給人以賞心悅目之感。 例1古人發(fā)現(xiàn)的“楊輝三角”，又稱賈憲三角形、帕斯卡三角形，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。 1 11 121 1331 14641 15101051 …… 它具有的性質(zhì)： （1）每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1開(kāi)始逐漸變大，然后變小，回到1。 （2）第n行的數(shù)字個(gè)數(shù)為n個(gè)。 （3）第n行數(shù)字和為2（n-1）。 （4）每個(gè)數(shù)字等于上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和。可用此性質(zhì)寫出整個(gè)楊輝三角形。 “楊輝三角”形式上所具有的對(duì)稱美和諧統(tǒng)一，令人嘆為觀止。 例2似乎黃金分割點(diǎn)（在?棕＝0.618處）不是對(duì)稱點(diǎn)，但若將左端點(diǎn)記為A，右端點(diǎn)記為B，黃金分割點(diǎn)記為C，則■=■，而且C關(guān)于中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D也是AB的黃金分割點(diǎn)，因?yàn)椤?■，再進(jìn)一步，D又是的黃金分割點(diǎn)，C是DB的黃金分割點(diǎn)。由此討論下去，可以視為一種連環(huán)對(duì)稱。 （二）幾何中的對(duì)稱美。幾何圖形的對(duì)稱美是對(duì)稱美最通俗、最直觀的解釋。在幾何圖形中，平行四邊形是中心對(duì)稱的，等腰三角形是軸對(duì)稱的，球形最為特殊，它既是中心對(duì)稱，又是軸對(duì)稱，也是面對(duì)稱的圖形。正如畢達(dá)哥拉斯所說(shuō)：“一切立體圖形中最完美的是球形，一切平面圖形中最完美的是圓。”正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱，才有了美麗的圖案，有了巧奪天工的建筑，進(jìn)而渲染出五彩斑斕的世界。 在幾何中，許多問(wèn)題的解決也運(yùn)用了對(duì)稱性原理。笛卡爾創(chuàng)建的解析幾何學(xué)可以說(shuō)是美學(xué)思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的成功運(yùn)用。在笛卡爾直角坐標(biāo)系中，代數(shù)方程與幾何圖形之間建立了一種對(duì)稱，使代數(shù)與幾何化為一體，達(dá)成完美的統(tǒng)一。而在各種曲線方程標(biāo)準(zhǔn)形式的推導(dǎo)中，更是充分利用了圖形本身的對(duì)稱性。 例3Couchy總喜歡把空間里過(guò)點(diǎn)（x1，x2，x3）的直線方程寫成對(duì)稱形式： ■=■=■ 其中cos?琢、cos?茁、cos?酌為直線的方向余弦；同時(shí)，他把曲面方程z=f（x，y）寫成對(duì)稱形式F（x，y，z）=0，這樣寫不僅美觀，而且便于書寫和記憶。 例4在笛卡爾坐標(biāo)系中，伯努利雙紐線?籽2＝a2cos2?茲關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，坐標(biāo)原點(diǎn)是具有切線y=±x的拐點(diǎn)。曲線的形狀類似于橫寫的阿拉伯?dāng)?shù)字8，更像表示無(wú)窮大的符號(hào)∞。 二、對(duì)稱美的應(yīng)用 （一）對(duì)稱美在微分學(xué)中的應(yīng)用。對(duì)稱現(xiàn)象在微分學(xué)中并不少見(jiàn)。如，連續(xù)與間斷，有限與無(wú)限，無(wú)窮小與無(wú)窮大，曲線的凹凸等概念前后呼應(yīng)，成對(duì)出現(xiàn)。在多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性簡(jiǎn)便計(jì)算。 定義1（對(duì)稱多項(xiàng)式）若函數(shù)z=f（x1，x2，…，xn）中任意兩個(gè)自變量交換后，仍然表示原來(lái)的函數(shù)，則稱此函數(shù)關(guān)于自變量對(duì)稱。 結(jié)論：若函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）處可微，且f（x，y）=f（y，x），則fx（x，y）=fy（y，x）。 由結(jié)論可知，對(duì)于二元的關(guān)于自變量對(duì)稱的可微函數(shù)，求其關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，只需將函數(shù)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)中的x與y交換位置即可，此結(jié)論還可推廣到n階導(dǎo)數(shù)。 例5設(shè)函數(shù)u=■，r=■，證明：■＋■+■=0。 證明：∵■＝■·■＝－■·■=－■，■=■■=－■+■，由函數(shù)u=■，r=■關(guān)于自變量對(duì)稱，則■=-■+■，■=-■+■，所以，■＋■+■=-■＋■＝0。 （二）對(duì)稱美在積分學(xué)中的應(yīng)用。對(duì)稱性在積分學(xué)中的應(yīng)用更是極為常見(jiàn)。在定積分的計(jì)算中，如果合理利用對(duì)稱性，則可以大大地簡(jiǎn)化計(jì)算，達(dá)到事半功倍的效果。 例6計(jì)算積分■■dx，其中n為自然數(shù)。 解：令x=■-t，可將積分區(qū)間化為對(duì)稱區(qū)間。 ■■dx＝■■dt ＝±■■dt=0 例7計(jì)算積分■e■cosxdx。 解：令M=■e■cosxdx，可構(gòu)造對(duì)稱式N=■e■sinxdx，則，M+N=e■sinx，M-N=e■cosx，從而M＝■e■（sinx－cosx）＋c，M＝■e■（sinx＋cosx）＋c。 三、結(jié)束語(yǔ) 綜上所述，高等數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性，不僅給我們帶來(lái)了計(jì)算上的方便，更給我們的思維以啟迪，從而促進(jìn)創(chuàng)造性思維的萌生。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有意識(shí)地揭示數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美，加強(qiáng)數(shù)學(xué)美的審美教育，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美、欣賞數(shù)學(xué)美，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性必將會(huì)大大的調(diào)動(dòng)起來(lái)，從而使我們的課堂展現(xiàn)出更強(qiáng)的活力與魅力。

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