提要對稱美是數學美的一個重要組成部分，它普遍存在于初等數學和高等數學的各個分支。本文討論數學中的對稱美，并給出了對稱美在高等數學解題中的應用。 關鍵詞：數學美；對稱美；對稱性

引言 古希臘哲學家、數學家普洛克拉斯曾說：“哪里有數學，哪里就有美，哪里就有發現……”數學美是數學科學的本質力量的感性和理性的顯現，是自然美的客觀反映，是科學美的核心。數學美的內容十分豐富，對稱美是數學美的一個重要組成部分，它普遍存在于數學的各個分支。 一、數學中的對稱美 （一）代數中的對稱美。對稱是代數中隨處可見的現象。譬如，實數a與-a互為相反數，復數a+bi與a-bi互為共軛復數，導數的運算法則，（u+v）'＝u'+v'，（uv）'＝u'v+uv'，這些有著明顯的對稱性。還有，原函數與反函數的圖像關于直線y=x對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱，奇函數的圖像關于原點對稱，都給人以賞心悅目之感。 例1古人發現的“楊輝三角”，又稱賈憲三角形、帕斯卡三角形，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。 1 11 121 1331 14641 15101051 …… 它具有的性質： （1）每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大，然后變小，回到1。 （2）第n行的數字個數為n個。 （3）第n行數字和為2（n-1）。 （4）每個數字等于上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角形。 “楊輝三角”形式上所具有的對稱美和諧統一，令人嘆為觀止。 例2似乎黃金分割點（在?棕＝0.618處）不是對稱點，但若將左端點記為A，右端點記為B，黃金分割點記為C，則■=■，而且C關于中點的對稱點D也是AB的黃金分割點，因為■=■，再進一步，D又是的黃金分割點，C是DB的黃金分割點。由此討論下去，可以視為一種連環對稱。 （二）幾何中的對稱美。幾何圖形的對稱美是對稱美最通俗、最直觀的解釋。在幾何圖形中，平行四邊形是中心對稱的，等腰三角形是軸對稱的，球形最為特殊，它既是中心對稱，又是軸對稱，也是面對稱的圖形。正如畢達哥拉斯所說：“一切立體圖形中最完美的是球形，一切平面圖形中最完美的是圓。”正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才有了美麗的圖案，有了巧奪天工的建筑，進而渲染出五彩斑斕的世界。 在幾何中，許多問題的解決也運用了對稱性原理。笛卡爾創建的解析幾何學可以說是美學思想在數學領域的成功運用。在笛卡爾直角坐標系中，代數方程與幾何圖形之間建立了一種對稱，使代數與幾何化為一體，達成完美的統一。而在各種曲線方程標準形式的推導中，更是充分利用了圖形本身的對稱性。 例3Couchy總喜歡把空間里過點（x1，x2，x3）的直線方程寫成對稱形式： ■=■=■ 其中cos?琢、cos?茁、cos?酌為直線的方向余弦；同時，他把曲面方程z=f（x，y）寫成對稱形式F（x，y，z）=0，這樣寫不僅美觀，而且便于書寫和記憶。 例4在笛卡爾坐標系中，伯努利雙紐線?籽2＝a2cos2?茲關于坐標原點對稱，坐標原點是具有切線y=±x的拐點。曲線的形狀類似于橫寫的阿拉伯數字8，更像表示無窮大的符號∞。 二、對稱美的應用 （一）對稱美在微分學中的應用。對稱現象在微分學中并不少見。如，連續與間斷，有限與無限，無窮小與無窮大，曲線的凹凸等概念前后呼應，成對出現。在多元復合函數求偏導數時，可以利用函數關于自變量的對稱性簡便計算。 定義1（對稱多項式）若函數z=f（x1，x2，…，xn）中任意兩個自變量交換后，仍然表示原來的函數，則稱此函數關于自變量對稱。 結論：若函數z=f（x，y）在點（x，y）處可微，且f（x，y）=f（y，x），則fx（x，y）=fy（y，x）。 由結論可知，對于二元的關于自變量對稱的可微函數，求其關于y的偏導數，只需將函數關于x的偏導數中的x與y交換位置即可，此結論還可推廣到n階導數。 例5設函數u=■，r=■，證明：■＋■+■=0。 證明：∵■＝■·■＝－■·■=－■，■=■■=－■+■，由函數u=■，r=■關于自變量對稱，則■=-■+■，■=-■+■，所以，■＋■+■=-■＋■＝0。 （二）對稱美在積分學中的應用。對稱性在積分學中的應用更是極為常見。在定積分的計算中，如果合理利用對稱性，則可以大大地簡化計算，達到事半功倍的效果。 例6計算積分■■dx，其中n為自然數。 解：令x=■-t，可將積分區間化為對稱區間。 ■■dx＝■■dt ＝±■■dt=0 例7計算積分■e■cosxdx。 解：令M=■e■cosxdx，可構造對稱式N=■e■sinxdx，則，M+N=e■sinx，M-N=e■cosx，從而M＝■e■（sinx－cosx）＋c，M＝■e■（sinx＋cosx）＋c。 三、結束語 綜上所述，高等數學中的對稱性，不僅給我們帶來了計算上的方便，更給我們的思維以啟迪，從而促進創造性思維的萌生。在數學教學中，教師有意識地揭示數學中的對稱美，加強數學美的審美教育，引導學生去發現數學美、欣賞數學美，學生的學習積極性必將會大大的調動起來，從而使我們的課堂展現出更強的活力與魅力。

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