【摘要】 通過(guò)對(duì) 5個(gè)有代表性的實(shí)例的分析，闡明了適用于分部積分法的若干種常見(jiàn)題型的簡(jiǎn)明求解方法：只需按先后順序選取對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)(含冪函數(shù))、任意函數(shù)等四類(lèi)函數(shù)之一為u，同時(shí)保證v容易求得，從而達(dá)到利用分部積分公式簡(jiǎn)明準(zhǔn)確求解問(wèn)題的目的。

【關(guān)鍵詞】 分部積分法; u(x)的選取; dv 的選取

在現(xiàn)行大多數(shù)高職《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教材中，講授分部積分法求不定積分時(shí)，往往都是先給出分部積分公式：設(shè)u=u(x)，v=v(x) 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則∫udv=uv-∫vdv ，然后就是各種不同類(lèi)型的例題，即使一些較高水平的輔導(dǎo)教材也只是簡(jiǎn)單提示應(yīng)用此公式的關(guān)鍵是：如何選取u和dv ，選取的原則：積分容易者選為dv ，求導(dǎo)容易者選為u;在二者不可兼得的情況下，首先要保證的是前者[1]。然后仍然是若干種不同類(lèi)型的例題，其中u 及dv 的選取又各不相同[2，3]，而這些龐雜的不同類(lèi)型的例題中，如何正確選取u 及dv ，極不容易區(qū)分，又難以把握，往往由此引起混淆乃至于學(xué)生束手無(wú)策，導(dǎo)致糟糕的教學(xué)效果。筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，針對(duì)高職《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教材的把握，總結(jié)出掌握分部積分公式的關(guān)鍵是：首先選取u，然后保證u=∫dv 容易求得。具體實(shí)施步驟是：按先后順序選取對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)(含冪函數(shù))、任意函數(shù)等四類(lèi)函數(shù)之一為u;然后保證v=∫dv 容易求得。此種解題思路簡(jiǎn)潔明了，避免了針對(duì)各種龐雜混亂題型的區(qū)分，有利于簡(jiǎn)明準(zhǔn)確的求解問(wèn)題，學(xué)生只需按先后順序記住四類(lèi)函數(shù)即可應(yīng)用分部積分公式求解相應(yīng)問(wèn)題，大大減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。具體闡述如下：

1 實(shí)例分析

例1 ∫xex dx此題中有兩類(lèi)不同的函數(shù)：冪函數(shù)x和指數(shù)函數(shù)lnx 。其中任何一類(lèi)函數(shù)的積分及求導(dǎo)都很容易，若盲目選取ex為u，則∫xexdx=∫exdx22=ex·x22-∫x22 ex dx ，此時(shí)完全違背了分部積分公式的指導(dǎo)思想：將不容易求解的不定積分∫udv 轉(zhuǎn)化為容易求解的不定積分∫vdu 。在此題中，不定積分∫x22exdx比不定積分∫x·exdx 更難求解，導(dǎo)致原題無(wú)法求解。正確而又簡(jiǎn)明的解題思路是：按先后順序選取對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)(含冪函數(shù))、任意函數(shù)中的冪函數(shù)x 為u，同時(shí)保證容易求得v=∫exdx=ex ，從而順暢的求解此題。即：∫xexdx=∫xdex=xex-∫exdx=xex-ex+c例2 ∫xln xdx此題中也出現(xiàn)了例1中的冪函數(shù)x，另一函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)lnx，但此題如仿例1選冪函數(shù)x為u，則v=∫lnx dx=xlnx-∫x·1xdx=xlnx-x 。那么求解過(guò)程如下：∫xlnxdx=∫xd(xlnx-x)=x(xlnx-x)-∫(xlnx-x)dx=x2lnx-x2-∫xlnxdx+12x2+c=x2lnx-12x2-∫xlnxdx+c移項(xiàng)后有： ∫xlnxdx=12·lnx-14x2+c此解題過(guò)程雖然也能求解出最后的正確結(jié)果，但解題過(guò)程成冗長(zhǎng)，況且還遇到了較復(fù)雜的問(wèn)題，即lnxdx=xlnx-x 的求解，而v 的求解過(guò)程在學(xué)習(xí)分部積分公式的初期學(xué)生往往還很不容易掌握。上述∫xlnxdx 的求解過(guò)程可以作為后續(xù)學(xué)習(xí)中的思考題讓學(xué)生完成。而例2正確而又簡(jiǎn)潔的求解過(guò)程為：按先后順序選取四類(lèi)函數(shù)之一的對(duì)數(shù)函數(shù)lnx 為u，同時(shí)v=∫xdx=x22也容易求得。則求解過(guò)程簡(jiǎn)潔而又順暢。即：∫lnx dx=∫lnxdx22=lnx·x22-∫x2x·1xdx=x22·lnx-12∫xdx=12x2lnx-14x2+c例3 ∫xarctanx1+x2dx此題中出現(xiàn)了三類(lèi)函數(shù)，冪函數(shù)x ，反三角函數(shù)arctanx ，無(wú)理分式函數(shù)11+x2 ，學(xué)生往往對(duì)v=∫dv 的求解及u 的選取感到很茫然，幾乎無(wú)從下手，很難正確求解此題。簡(jiǎn)潔而又明晰的求解過(guò)程是：按先后順序選取四類(lèi)函數(shù)之一的反三角函數(shù)arctanx 為u，同時(shí)保證v=∫x1+x2dx=1+x2也容易求得，則解題過(guò)程依舊順暢。即：∫xarctanx1+x2dx=∫arctanxd1+x2=arctanx·1+x2-∫1+x2·11+x2dx=1+x2·arctanx-∫11+x2dx其中不定積分∫11+x2dx 可用第二類(lèi)換元法求解：令x=tant ，則 dx=sec2tdx，∫11+x2dx=∫1sect·sec2tdt=∫sectdt=ln|sect+tant|+c=ln|1+x2+x|+c于是∫xarctanx1+x2dx=1+x2·arctanx-ln|1+x2+x|+c例4 ∫x3ln2xdx此題若盲目的選取u=x3 ，則首先v=∫ln2xdx 的求解是個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題。v=xln2x-∫x·2lnx·1xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2(xlnx-x)=x(ln2x-2lnx+2)同時(shí)原題的求解過(guò)程更為困難。∫x3ln2xdx=∫x3d[x(ln2x-2lnx+2)]=x3[x(ln2x-2lnx+2)]-∫x(ln2x-2lnx+2)dx3=x4(ln2x-2lnx+2)-3∫x3(ln2x-2lnx+2)dx此時(shí)求解不定積分應(yīng)再用分部積分公式，但v=∫dv 的求解更為復(fù)雜，學(xué)生往往已經(jīng)沒(méi)有信心繼續(xù)求解了。簡(jiǎn)明的求解過(guò)程為：按先后順序選取四類(lèi)函數(shù)之一的對(duì)數(shù)函數(shù)ln2x 為u ，而v=∫x3dx=14x4 又很容易求得。則解題過(guò)程較為簡(jiǎn)潔順暢：∫x3ln2xdx=∫ln2xdx44=ln2x·x44-∫x44·2lnx·1xdx=x44ln2x-12∫x3lnxdx=x44ln2x-12∫lnxdx44=x44ln2x-12(lnx·x44-∫x44·1xdx)=x44ln2x-12(x44lnx-x416)+c=x44ln2x-x48(lnx-14)+c例5 ∫e3xcos2xdx被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積。此時(shí)可選任意函數(shù)為u及dv 。方法一 選u=e3x，dv=cos2xdx，則 v=12sin2x原式=12∫e3xd sin2x=12(e3x sin2x-∫ sin2xde3x)=12e3xsin2x-32∫e3xsin2xdx=12e3xsin2x+34∫e3xd cos2x=12e3xsin2x+34(e3xcos2x-∫cos2xde3x)=12e3xsin2x+34e3xcos2x-94∫e3xcos2xdx移項(xiàng)后，有∫e3xcos2xdx=113e3x(2 sin2x+3cos2x)+c方法二 選u=cos2x，dv=e3x， 則 v=13e3x原式=13∫cos2xde3x=13(cos2xe3x-∫e3xd cos2x)3e3xcos2x+23∫e3xsin2xdx=13e3xcos2x+29∫sin2xde3x=13e3xcos2x+29(sin2xe3x-∫e3xd sin2x)=13e3xcos2x+29e3xsin2x-49∫e3xcos2xdx移項(xiàng)后，有 ∫3xcos2xdx=113e3x(3cos2x+2sin2x)+c

2 結(jié)語(yǔ)

分部積分公式作為求解不定積分問(wèn)題的一種重要方法，尤其在學(xué)習(xí)分部積分公式的初期，高職層次的學(xué)生對(duì)公式中u及dv 的選取感覺(jué)很不好掌握，不同類(lèi)型的問(wèn)題選不同的函數(shù)為u及dv ，同一類(lèi)函數(shù)在此問(wèn)題中選作u ，而在另一問(wèn)題中又被選為dv ，因而對(duì)公式的應(yīng)用產(chǎn)生困惑、混亂和畏懼，影響學(xué)習(xí)效果。本研究闡述了只需按先后順序選取對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)(含冪函數(shù))、任意函數(shù)等四類(lèi)函數(shù)之一為u，同時(shí)保證v=∫dv 容易求得即可簡(jiǎn)潔順暢的應(yīng)用分部積分公式求解不定積分。此解題思路更容易被學(xué)生理解和掌握，從而把困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易的問(wèn)題加以解決，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有很大幫助。另外，隨著學(xué)習(xí)的深入和問(wèn)題的綜合程度的提高，還有其他類(lèi)型的需綜合應(yīng)用多種方法(包括分部積分法)求解的問(wèn)題，但仍需在對(duì)分部積分公式熟練掌握的基礎(chǔ)上進(jìn)一步靈活變通。

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