作者：安洪慶 孔雨佳 王培承

【摘要】 不定積分的求解一直是高等數學的重點，但由于其方法的靈活性以及結果的不確定性，又一直是高等數學的難點。針對不定積分求解方法的核心思想——“湊微分”，就其技巧、步驟的形式化方面做了相關分析和總結，并給出了一系列行之有效的“湊微分”的形式化步驟和技巧。

【關鍵詞】 不定積分; 湊微分; 換元積分法; 分部積分法; 醫用高等數學

微積分是醫用高等數學的基本和主要內容，在數學甚至是自然科學的發展階段中有著不可磨滅的貢獻，正如恩格斯所說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正是在這里”[1]。不定積分是微積分中的重要一章，是解決反問題的重要方法，在科學、技術和經濟等許多領域中有著重要的應用。不定積分掌握程度的好壞直接決定著對后面定積分、多元函數微積分以及微分方程等章節內容的掌握，亦對后續課程的學習有很大的影響。由于不定積分方法的靈活性和結果的不確定性，同學們在學習時往往顯得無從下手，下面結合自己在講授不定積分時的經驗，關于不定積分求解方法的學習提幾點建議。

作者在教學之余，曾關于不定積分的求解方法總結過一句口訣“原函數，結牛萊，湊微代換分部微元來，定于不定都交代”[2]。不定積分的常規求解方法主要包括直接積分法、換元積分法和分部積分法，而經常使用的主要是換元積分法和分部積分法，其核心即——“湊微分”。

1 換元積分法中的“湊微分”

換元積分法中的“湊微分”主要體現在第一類換元積分法中，其基本原理是：當〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗 不容易直接求出時，則將其轉化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗 ，然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du (取φ(x)=u ) ，即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗 。其中的關鍵是第一步：將g(x) 拆分成f[φ(x)]φ′(x) ，這正是“湊微分”的核心。由于“湊微分”方法靈活多樣，單單依靠幾個常見的湊微分公式并不能給同學們足夠的啟示，在講解過程中我們將方法歸結為“一拆、二靠、三轉化”三步走，并且結合常見的不定積分公式求解，這樣同學們掌握起來就比較容易了。

1.1 “拆”

遇到一個不定積分題目，首先看其能否直接拆分成若干個函數的乘積，若能，則挨個觀察拆分成的函數能否湊微分，找出合適的進行湊微分求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析：觀察到被積函數cosx2x 可以拆分成兩個函數的乘積：cosx·12x ，并且12x 可以進行湊微分從而變成dx 。解：〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=sinx+C。

1.2 “靠”

若一個不定積分不能直接拆分成若干個函數的乘積或可以拆分成若干個函數的乘積但是難以進行湊微分計算，則先觀察它是否與某一個不定積分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定積分基本公式為目標去靠近從而求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析：通過觀察此不定積分不能直接進行拆分，但其與不定積分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C 形式上接近，因此我們可以以此為目標去靠近。解：〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2dx〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。

1.3 轉化

若一個不定積分既不能直接拆分成若干個函數的乘積或可以拆分成若干個函數的乘積但是難以進行湊微分計算，又不與任何一個不定積分基本公式形式上接近，則可以先利用恒等變形等方法進行轉化，再根據轉化的形式進行相應求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗分析：此不定積分既不能直接拆分成若干個函數的乘積或可以拆分成若干個函數的乘積但是難以進行湊微分計算，又不與任何一個不定積分基本公式形式上接近。通過觀察被積函數1a2-x2 可以用拆分成1a-x·1a+x ，從而逆用通分公式變成12a(1a-x+1a+x) 進行求解。解：〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗=〖JF(Z〗1(a+x)(a-x)dx〖JF)〗=12a〖JF(Z〗(1a+x+1a-x) dx〖JF)〗=12a[〖JF(Z〗1a+xdx〖JF)〗+〖JF(Z〗1a-x) dx〖JF)〗]=12a[〖JF(Z〗1a+xd(a+x)〖JF)〗-〖JF(Z〗1a-x) d(a-x)〖JF)〗]=12a(ln|a+x|-ln|a-x|)+C=12alna+xa-x)+C。

2 分部積分法中的“湊微分”

分部積分法主要適用于被積函數是兩個函數乘積形式(主要是反三角函數、對數函數、冪函數、指數函數、三角函數五類基本初等函數形式的乘積)的不定積分，主體內容可以概括為“一套公式、兩個步驟、三種類型”：一套分部積分公式即：〖JF(Z〗u(x)dv(x)〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)du(x)〖JF)〗等價于 〖JF(Z〗u(x)v′(x)dx〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)u′(x)dx〖JF)〗兩個基本步驟即：① 配微分，即將〖JF(Z〗f(x)dx〖JF)〗 變形為 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 ;② 代入分部積分公式求解、化簡(可以重復使用)。

三種解題類型即：① 配微分后直接套公式計算、化簡;② 使用兩次分部積分公式后移項解方程;③ 直接積分法、換元積分法和分部積分法結合運用。

分部積分法的關鍵是步驟①中的配微分，即將f(x) 拆分成uv′。u與v′選擇不當會使題目求解越陷越繁瑣，例如求解不定積分〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗 ：解法1：選擇u=cosx ，v′=x〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=12〖JF(Z〗cosxdx2〖JF)〗=12x2cosx+12〖JF(Z〗x2sinxdx〖JF)〗=12x2cosx+16〖JF(Z〗sinxdx3〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3d sinx〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3cosxdx〖JF)〗= (陷入無限循環中)。解法2：選擇u=x ，v′=cosx〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗xd sinx〖JF)〗=xsinx- 〖JF(Z〗sinxdx〖JF)〗=xsinx-(-cosx)+C=xsinx+cosx+C(求解簡單明了)。對于u 與v′的選擇，我們有以下兩個原則:① u 、v′選擇要得當，使 v容易求出。② 〖JF(Z〗vdu〖JF)〗要比原積分 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 容易求解。遵循上面的兩個原則，在教學實際中我們總結出一個比較實用的方法：對拆分成乘積的兩個函數求導數，若函數類型發生變化則做u，沒有發生變化則做v′，全部沒有發生變化則任選其一做u 即可。

如：求解不定積分 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗分析：指數函數ex 與三角函數cosx 求導數后仍然為指數函數與三角函數，函數類型都沒有發生變化，則任選其一做u 即可。解1：〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinx exdx〖JF)〗=exsinx+〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移項整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(sinx+cosx)+C。解2： 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=excosx-〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗exsinxdx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移項整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(cosx+sinx)+C。另外，針對某些被積函數只有一個的情況，可以看成其與常數的乘積。如：求解不定積分 〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗分析: 被積函數arctanx 可以看成arctanx·1 ，arctanx 求導得11+x2 ，類型由反三角函數形式變成冪函數形式，而1求導得0，仍為冪函數形式不變，因此取u=arctanx ，v′=1 即v=x 。解：〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗=xarccosx-〖JF(Z〗xd arccosx〖JF)〗= xarccosx+〖JF(Z〗x11-x2 dx〖JF)〗=xarccosx+12〖JF(Z〗x11-x2 dx2〖JF)〗=xarccosx-12〖JF(Z〗x11-x2 d(1-x2)〖JF)〗xarccosx-1-x2+C。此方法對于“配微分”的選擇來說是比較實用的，并且可以培養同學們的發散思維，但在一定方面亦有其局限性，對于某些題目，容易使同學們產生“歧途亡羊”之感。

如：求解不定積分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析: 被積函數x2 求導得2x ，cosx 求導得-sinx ，類型仍是冪函數和三角函數形式，因此應該任取一個做u 即可，但通過下面的求解發現并不是如此。解法1：〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=13〖JF(Z〗cosx dx3〖JF)〗=13x3cosx-13〖JF(Z〗x3d cosx〖JF)〗=13x3cosx+13〖JF(Z〗x3sinxdx〖JF)〗=13x3cosx+112〖JF(Z〗sinxdx4〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4d sinx〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4cosxdx〖JF)〗=… (陷入無限循環)。解法2： 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=〖JF(Z〗x2d sinx〖JF)〗=x2sinx-〖JF(Z〗sinx dx2〖JF)〗=x2sinx-2〖JF(Z〗xsinx dx〖JF)〗=x2sinx+2〖JF(Z〗xd cosx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2〖JF(Z〗cosx dx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2sinx+C (求解簡單明了)。為解決此缺陷，我們再給出一個選擇u 及v′ 的簡便方法(此法在《高等數學》[3]中亦有相應體現)：把被積函數視為兩個函數之積，按“反對冪指三(反三角函數、對數函數、冪函數、指數函數、三角函數)”的順序，前者為u ，后者為v′ 。

如：求解不定積分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析：被積函數x2cosx 可以看成冪函數x2 與三角函數cosx 的乘積，按照“反對冪指三”順序取u=x2 ，v′=cosx (具體求解過程即上例解法2)。其實，兩種方法各有利弊，第一種方法拓展了學生的發散思維，但對于某些問題不能廣泛使用，第二種方法雖然簡潔、應用廣泛，但是又限制了同學們發散思維的培養，因此我們在教學過程中應該相互結合，互為補充，這樣才能既有效解決問題，又培養了學生們的思維能力。

通過上面的方法，我們幾乎可以將不定積分的基本求解形式化的確定下來，在一定程度上減輕了同學們的學習壓力。但是，對于不定積分求解步驟、方法形式化的討論，并不是要把高等數學裝扮得冰冷且美麗著，而是要在掌握形式化技巧的基礎上深度挖掘“冰冷的美麗”[4]后面“火熱的思考”[4]，從而達到“淡化形式，注重實質”[5]的目的，真正的使同學們“透過形式主義的美麗，真正領會到微積分的無窮魅力”[4]。

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