【摘要】利用數字的故事化，可增強學生對數學課的興趣，在潛移默化中提高數學課對學生的吸引力，如“0”的故事、“9”的故事、“π”的故事、“進制”的故事等。 【關鍵詞】數學課數字故事化進制

興趣是最好的老師。培養學生對數學的興趣，是搞好數學課教學的重要一環。而數字的故事化又是增強學生數學興趣的直接而重要的途徑。在十幾年的教學實踐中，我特別注意用講故事的形式，使枯燥的數字“生動”起來，在潛移默化中提高數學課對學生的吸引力。現將一些做法貢獻出來，請專家批評指正。 一、“0”的故事 “0”是數學家族中的極其重要的一員。它比它的哥哥姐姐們，即1、2、3、4……出生的年齡要小得多。 “0”的誕生比較晚，由“沒有”至“零”的認識有一個漫長的過程。在“0”被發明之前，古人的記數方法是繁瑣而又殘缺，想記一個大數時就得把某些符號重復寫好多次。例如把一百零三萬零四百零五即1030405，寫成一個表示“一百萬”的圖、三個表示“一萬”的圖、四個表示“一百”的圖及五個表示“一”的圖的組和，就像一幅畫一樣，記起來很麻煩。在印度－阿拉伯數字被采用后，在沒有“0”這一數字符號時，古人就把1030405這個數表示為：1 3 4 5，這種表示法容易產生誤解，因為兩數之間的距離并無具體規定，很像1345。于是后來發明打格的方法來區別：（□），其中空的地方代表空位。可如此做法又將運算變得很麻煩。“0”被采用后，就可以將上數很簡潔明了地寫成：1030405。故在“0”被采用之前，記數法可說是殘缺的。 “0”在數學中的地位如此重要，而這個符號被采用卻是來之不易，歷經周折。發明了奇特深奧的楔形文字的古巴比倫人不會使用0；能建造宏偉金字塔的古埃及人也不會。中國古代利用算籌進行運算時，怕出現定位錯誤，開始用“□”代表空位，為書寫方便逐漸寫成3個比現在橢圓形“O”要圓鼓的一個圓圈。公元前2世紀，希臘人在天文學上用“□”表示空位，可應用并不普遍。印度人在公元6世紀最早用個小黑點“.”表示零，后來逐漸變成了0。正是印度人在公元9世紀真正把0當作一個獨立的數來使用。 0的用途很多，除了在誕生歷史中所講的位值制記數法中表示“空位”的用法外，還有多種用途。0可以表示“一無所有”的概念。比如：5-5=0；4個蘋果，吃掉4個后，剩0個，表示沒蘋果了；樹上有0只鳥，表示樹上沒有鳥。 0本身是一個數，它可與其他數一起參加運算。0屬于實數之一，又是正數與負數間的唯一中性數，具有以下一些運算性質： a+0=0+a=a a-0=a， 0-a=-a 0×a =a×0=0， 0÷a =0，（a≠0） 0不能做除數，也可由此推出分母不能為0；0也沒有倒數。 任意多個0相加或相乘，其結果均為0。 0的絕對值為0。 0的相反數是0。 0在復數中，是唯一幅角沒有定義的復數。 0沒有對數。 現代電腦用的二進制中，0是一個基本的數碼。 0還是標度的起點或分界線。例如，每日以0時為起點；數軸上0是正負數的分界線；溫度計中0℃不表示沒有溫度，而是通常情況下水結成冰的溫度，相當于華氏表的32度。0在導彈發射時的口令是表示起點：“9，8，7……1，0——發射”。 0還可以表示精確度。如在近似計算中，7.5與7.50表示精確程度不同。 而0在數學史中又被稱作“哥倫布雞蛋”。在慶祝哥倫布發現新大陸的宮廷宴會上，有人嫉妒地說：“其實，誰開船去不了那兒，這事誰都能辦到。”哥倫布不露聲色地拿起一只煮熟的雞蛋問：“諸位，誰能把這只雞蛋立在桌上。”很多人都試著做了，可雞蛋就是立不起來。哥倫布拿過雞蛋，在桌上輕輕一碰，就立在了桌子上。于是一些人又說：“這誰不會呀，殼一破就立住了。”哥倫布滿含深意地說：“對呀，有些事看起來很簡單，可很多人就是想不到，不去做，別人做到了，他又說簡單。0就是這樣，發明它之前，沒有人想到，有了它之后，人們又認為很簡單。”故0又被稱作“哥倫布雞蛋”。 二、“9”的故事 “9”是一位數中最大的數，這個數有很多有趣的故事，同時也是個奇妙的數字。 9成了作除數的“紅人兒”：在遼闊的華夏大地上，如今出現了許多“神算子”，他們大都工作在基層，例如銀行收儲員、商店營業員、教師、小販等等，他們每天與數字打交道，積累了很多寶貴的心得與數字經驗，有的甚至已聞名東亞，受聘出國講學，為他國培訓人才。 四則運算中，當然是除法最麻煩，可其中也有好多小竅門。比如：有兩數相除，若被除數為整數，可除數為9，或99、999……、10n-1。而且被除數與除數互相不能整除，又比除數小時，則商一定是循環小數。這個循環數字就是被除數原數，而循環節的位數，就是除數中所含“9”的個數，當被除數的位數小于除數中所含“9”的個數時，就加“0”予以補足。 同理，當除數11、111、1111等作除數時，亦可用類似的“配九法”來做。 假如想求出近似的商數，由于已對全部環節了如指掌，因此，隨便由哪一位截取或“四舍五入”的求近似值方法得出，都是很容易得出來的。 假若由3個“9”，怎樣運算能得到最大結果呢？答案是（929）29。 9的乘法循環：一個數的個位都是數字9，則平方會出現一種循環： 92=81，8+1=9， 992=9801，98+01=99， 9992=998001，998+001=999， 99992=99980001，9998+0001=9999…… 上面這些等式中，將平方結果分成左右兩半，再將這兩部分還原相加的和正好是原數。 若把平方換成立方： 93=729，7+2=9， 993=970299，97+02=99， 9993=997002999，997+002=999， 99993=999700029999，9997+0002=9999…… 上式對嗎，可以證一個： 99993=99992×9999=99980001×9999=（99980000+1）×9999=（99980000+1）×9999=9998×10000+9999=999929999×10000+9999=（999800019999）×10000+9999=99970002×9999=999700029999依此法可證出其他式子也成立。 三、“π”的故事 “π”是圓周率的符號，是一個常數，表示圓的周長與直徑的比值，這個值是定值。有關“π”的故事很多，關于其值的馬拉松式的計算和背誦，便是其中之一。 從公元前2世紀開始，直至今日，π的值盡管已被算出數億位，可印成厚達百萬頁的書，卻仍然是一個近似值。所以人們把關于π值的計算，稱為科學史上的“馬拉松”。 計算π值的較早計載，可見于公元前2世紀中國的《周髀算經》，其上載有“周三徑一”之說。第一個用正確方法計算π值的，是中國魏晉時期的劉徽，他于公元前263年，首創利用圓的內接正多邊形面積來逼近圓的面積之法，得出π值約為3.14。中國稱這種方法為割圓術。而西方人遲至1200年后，才開始利用類似的方法。后人為紀念劉徽的這個數學貢獻，稱3.14為徽率。 公元460年，中國南朝數學家、天文學家祖沖之仍然采用劉徽割圓術，算得π值為3.1415926和3.1415927之間，這是世界上首次將圓周率推算到小數點后第7位。祖沖之還找到了兩個近似等于π值的分數值：355÷113和22÷7。將這兩個分數化成小數，得到的值雖然沒有他推算出來的小數值準確，但可采用分數代替π來計算，使其運算更簡便。西方遲至1000多年以后，才想到這種辦法。 π值被精確到小數點后第7位的記錄，被祖沖之保持了1000多年。到了1596年，荷蘭數學家盧道夫歷經艱苦計算，把π精確到小數點后第15位，后來，他又把π值推進到小數點后第35位。為了紀念他的貢獻，人們把他推出來的π值稱為“盧道夫數”，1610年他逝世時，人們為他立一墓碑，上刻此數：3.14159265358979323846264338327950288。 盧道夫之后，西方數學家對π的計算進展迅速。1853年，英國數學家威廉·向克斯（William Shanks）以畢生精力從事π的計算，工作非常艱辛，因為那時沒有計算機，全都用手算，最后他宣布算出了707位小數。但九十二年以后，也就是第二次世界大戰剛剛結束的1945年，人們發現他在第528位時出現了一個小錯誤，于是528位之后的部分都錯了，這之后的180位小數全白算了。1948年1月，弗格雷與雷斯奇合作，算出正確的808位小數的π值。可這種沒有計算機的計算仍然艱辛而又費力。而且手算還容易馬虎出錯。

不過二進制記起數來很冗長，比如87要寫成二進制形式是1010111，日常生活中用十進制較多，用二進制較少。可對電子計算機而言，卻是另一番情況，二進制有無可比擬的優越性，所以被廣泛采用。首先是容易實現。在電子計算機中，若使用P進制，就要求元件具有P種穩定的物理狀態來表示P個數碼。若P＞2，困難程度是很大的。而二進制只要求元件有兩種不同的穩定狀態，這不僅容易辦到，而且可靠性高。例如：穿孔帶的“有孔”、“無孔”，開關的“通”、“斷”，晶體管的“通導”、“截止”等都可以實現。另一優點是運算簡單。加法和乘法都是最簡單的運算方法。再有一個優點就是二進制比其他進制更節省元件。二進制還便于使用數理邏輯來進行分析與總體設計。因此，二進制在計算機日益廣泛應用的今天，顯得尤為重要，二進制也就成了主要進制之一。 二進制的歷史常與計算機創始人萊布尼茲（G.W.Leibnitz，1646年-1716年）的名字聯系在一起。他雖然不是二進制的最早發明者，可在他的大力闡述及提倡下，二進制確實引起了人們的關注。在他以前，已有好幾個人使用了二進制，例如：英國的代數學家哈里奧特（1560年-1620年），在未發表的手稿中便已用二進制記數法，不過不為人知罷了。萊布尼茲也許沒見過前人的有關二進制的論述，因而一直認為二進制是自己的創造。當他得知中國的八卦排列與二進制一致時，更是欣喜若狂，以為自己揭開了數千年前中國的一個不可解之謎——《易經》。因為《易經》有了太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……這同二進制是一致的。 布萊尼茲相信，他在二進制中看到了創造萬物的圖象，在那里只有兩個數0和1。上帝可用“1”表示，虛無用“0”表示。他想象造物主從虛無中創造了一切，正如在二進制中算術用了“1”和“0”表示出所有數一樣，這種想法使萊布尼茲太高興了，以致希望這種創造世界的象征能使當時的中國皇帝（康熙大帝）也皈依基督教。1697年12月，萊布尼茲寫信給當時在北京為康熙帝講授數學的法國傳教士白晉，闡述自己的觀點，白晉將二進制與《易經》的六爻排列對照，認為二者是一致的。《易經》八卦中的一列六十四卦可以寫成000000、000001、000010、000011……111111，正好是二進制中由0到63這64個數的排列。白晉由此認為早在2000多年前中國古代圣人就已發明二進制記數法。可實際上，《易經》中的六十四卦排列并不與二進制中的前64個數一致。 總之，現在似乎還沒有足夠的理由來肯定《易經》的作者已建立起二進制記數法，雖然《易經》同二進制記數法的原理有些類似。當年，白晉給萊布尼茲的《易經》六十四卦圖解是按二進制記數法中前64個數的順序排列的，所以萊布尼茲對白晉的說法沒有絲毫懷疑。他認為幾年前中國圣人的創造竟與自己的發明完全一致，這使他十分高興，從而對中國文化更加神往。 在進制中，除了現在應用最廣的十進制與二進制外，還有五進制、二十進制、六十進制，甚至還有七進制、八進制、十二進制、十六進制。五進制是由每只手有5個手指而來的；二十進制是由手指與腳趾加在一起共20個而來的；而六十進制很有科學性，60是能夠被1、2、3、4、5、6這幾個數同時整除的最小的自然數，因此在以60進位時，計算起來可免去很多麻煩。六十進制在生活中應用也很廣泛，如時間中的秒、分鐘、小時，圓周為360度，而其中的60秒等于1分，60分等于1度，列式子為60″=1′，60′=1°。 這些進位制記數法分別來自古代的一些文明古國，如中國、古巴比倫、古印度，還有古代美洲的瑪雅人、古非洲國家等。其中有些記數法為多國所用，如十進制記數法，也有一個國家采用多種記數法者，如古巴比倫就有五進制、十進制、二十進制、六十進制等多種記數法。后來又由于《圣經》“創世紀”中的說法，世界是上帝7天造出來的，因而每周又稱每星期的進制為七進制，每7天為一周。中國古代的一斤等于16兩，俗語中的“半斤八兩”意為勢利均衡，旗鼓相當，因為古代的半斤等于八兩。可見在進位記數法中還蘊含了很多知識。 在人類長期的實際應用中，十進制逐漸占了上風，應用最為廣泛；二進制也隨著科技的發展，計算機的應用，在人們心目中的地位不斷升高。可知一些科學工具的發展與應用都是人類長期實踐活動選擇的結果。