摘要：本文通過分析線性代數課程的特點和目前教學中出現的問題，從數學建模思想入手，結合幾個案例探討了線性代數中矩陣的概念與運算、特征值和特征向量的應用等知識點。具體闡述了將數學建模思想融入線性代數教學過程中的重要性，增強了學生利用數學建模思想解決實際問題的能力。

關鍵詞：線性代數；數學建模；教學方法

線性代數是高校理工科專業大一新生的一門重要的公共基礎課程，它不僅是很多高年級的課程的延伸和推廣，而且它在數學、物理、控制科學、工程技術等領域也具有廣泛的應用，特別是當前計算機科學技術人工智能的快速發展，使得線性代數的作用和地位得到更大的提升。因此，線性代數這門課程學習效果的好壞對學生知識能力的培養和后繼課程的開展至關重要。但是，目前線性代數的教學仍然存在一些問題，具體表現為：第一，線性代數的教學模式偏重于理論教學，無法激起學生的學習興趣。線性代數的概念多，理論性強，抽象晦澀，難以理解，更加加深了學生學習線性代數的難度，降低了學生的學習興趣。第二，學生的基礎較差，課程數較少，導致學生的學習困難。學生來源于不同的地區，生源素質差異較大，使得課堂出現兩極分化現象，致使線性代數的教學質量無法全面提升。第三，教學中缺乏實際的應用背景，學生無法理解線性代數作為一門重要基礎課程的意義。眾所周知，數學建模就是根據實際問題建立數學模型，然后運用數學知識對模型求解，最后根據計算結果來解決實際問題的過程[1]。基于此，本文將數學建模的思想融入線性代數的教學過程中，通過適當引入典型的建模案例[2，3]，達到吸引學生的注意力和學習興趣的目的，從而活躍課堂教學氛圍，提高教學效果。與此同時，在上課過程中講授數學建模案例還可以增加老師和學生之間的互動性，豐富課堂教學的內容，開闊學生的眼界，使得原本抽象、枯燥乏味的概念和定理變得生動有趣，進而激發學生學習線性代數的興趣，提升學生學習數學的素養。

1 數學建模案例在線性代數中的應用

線性代數教學中有許多定義和定理抽象晦澀、難以理解，學生上課中往往不知所云，更不知道學習了相關知識有什么作用。如果在教學過程中我們融入相關的實際問題的案例，往往使學生更容易理解，印象更為深刻，起到事半功倍的效果。接下面我們引入兩個具體案例來詮釋線性代數中的矩陣的概念和矩陣乘法運算、特征值與特征向量的應用等知識點。例1[4]：某航空公司在四個城市之間的航行圖如圖1 所示，根據圖1 ，回答一下問題？（1 ）能否將圖1 用數學式子表達？（2 ）圖1 種的A城市和C城市如何實現通航？（3 ）從城市B出發經3 次航行再回到B城市的路線有幾條？解：乍一看，這一個與數學無關的問題，然而，如果我們利用數學建模的思想能把這個問題(1)轉化為線性代數中矩陣的概念來表達，進而利用矩陣的乘法運算來解決這個問題(2)和問題(3)。這樣的案例的引入應該可以引起學生的興趣，也可以讓學生明白數學線性代數有用武之地。下面我們經過合理的假設把此問題轉化為線性代數中矩陣的相關問題來求解。（1 ）設aij＝0 表示城市i到城市j之間沒有航線，aij＝1 表示城市i到城市j之間有航線，ABCD用數字1234 來表示，則圖1 的航線運行圖可以用下面的鄰接矩陣表示由于c22=2 ，所以從B城市經兩次中轉再回到B城市的路線有兩條，即：B→D→A→B，B→D→C→B.例2[5]：城鄉人口流動的調查案例，在某城市，每年有比例為p的農村居民遷往城鎮，有比例為q的城鎮人口遷回農村，假定該國人口總數不變，人口遷移規律不變，回答以下問題：（1 ）k年以后此城市的人口分布情況；（2 ）該城市的農村人口和城市人口是否可以趨于穩定狀態？通過分析我們利用數學建模的思想能把這個問題(1)轉化為線性代數中矩陣的相關知識來表達，然后利用特征值和特征向量的應用來解決問題(2)。接下來，我們經過合理的簡化假設把此問題轉化為數學問題。解：（1 ）設開始時刻農村人口為x0 ，城鎮人口為y0 ，第k年農村人口為xk，城鎮人口為yk，根據題意可知，一年后農村人口和城鎮人口為得到矩陣B的特征值為λ1 ＝1 ，λ2 ＝μ其中μ＝1 －p－q。然后計算矩陣B的特征向量，當λ1 ＝1 時，解方程（B＋E）x＝0 ，得到對應的特征向量ξ1 ＝（q，p）T;當λ2 ＝μ時，解方程（B-μE）x＝0 ，得到對應的特征向量ξ2 ＝（－1 ，1 ）T。

2 數學建模案例選擇的特點

學生對于線性代數的學習的總體印象應該是抽象難懂，在教學過程中我們設計合理的數學建模案例，可以起到提高學生學習線性代數的興趣和積極性。然而，選擇數學建模案例的效果上往往差別非常大，因此在引入數學建模案例時我們要注意以下的幾個方面[5，7]：其一，在引入案例過程中我們要給學生適當的時間和空間，布置一些思考題，讓學生自由揮發，這樣可能會收到更好的效果。其二，案例的選擇越簡單、越貼近生活、越有利于理解越好。一方面如果能夠選擇身邊的案例，學生往往能夠感覺更貼切，更加真實，這樣可能起到出奇制勝的效果。另一方面在案例的挑選中如果能夠讓學生參與其中，這樣可以活躍課堂氣氛，增加學生的興趣和積極性，培養學生的發散思維和聯系實際的意識。其三，新案例和舊案例要做到很好的結合，在教學過程中能夠造出新案例固然好，這樣可以增加課程的新鮮感。如果沒有新的案例，充分利用好舊的案例也能達到理想的效果。除此之外，數學建模案例教學雖然可以提高教學的質量，但是精雕細琢的備課和講授仍然必不可少，如何選擇案例、如何組織語言、如何講解案例，使教學效果最大化應是每一位老師追求的目標。

3 小結

基于上面兩個具體案例的分析，我們知道了數學建模案例選擇的一些注意事項，我們也看到了在線性代數的教學過程中融入建模的案例可以給學生帶來直觀上的感受，增強學生自主學習、主動思考的意識。在線性代數教學過程中適當時候引入數學建模案例，可以達到事半功倍的效果。當前，數學建模競賽如火如荼，引入數學建模案例的線性代數教學改革對當前應用型人才的培養具有積極的促進作用，有效增強了學生利用數學知識解決實際問題的能力。

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]李尚志.線性代數精彩應用案例(之一)[J].大學數學，2006(3):1-8.

[3]文軍，屈龍江，易東云.線性代數課程教學案例建設研究[J].大學數學（高教版），2016 （6 ）：46-52.

[4]鄭玉軍，湯瓊.基于案例與問題驅動的線性代數教學[J].湖南科技學院學報，2019(5):5-6.

[5]朱玲.以數學建模為平臺的線性代數案例教學研究[J].產業與科技論壇，2019(11):133-134.

[6]劉春林，李寶娣.線性代數與案例教學的體會與思考[J].湖南理工學院學報(自然科學版)，2016(2):84-88.

[7]趙春芳.基于實際應用的線性代數教學理論研究[J].山東農業工程學院學報，2019(2):140-141.