數學新課標教學大綱中明確提出：“強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學的理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”所以說強化數學建模能力，不僅能使學生更好地掌握數學基礎知識，學會數學的基本思想和方法，也能增強學生應用數學的意識，提高分析問題、解決實際問題的能力。

數學建模的具體步驟：第一，根據實際問題的特點進行數學抽象，構建恰當的數學模型。第二，對所得到的數學模型，進行邏輯推理或數學演算，求出所需的解答。第三，聯系實際問題，對所得到的解答進行深入討論，作出評價和解釋，返回到原來的實際問題中去，得出實際問題的答案。

中學階段常見的數學模型有方程模型、不等式模型、函數模型或幾何模型、統計模型等，我們把運用數學模型解決現實問題的方法統稱為應用建模。

近幾年筆者一直任教九年級數學，版本為《泰山版》，現針對任教內容與大家一起探討幾個常見的數學模型。

一、方程模型

現實生活中廣泛存在著數量之間的相等關系，“方程（組）”模型則是研究現實世界數量關系最基本的數學模型，它可以幫助人們從數量關系的角度更正確、更清晰認識、描述和把握現實世界。

案例1：一元二次方程中的“平均變化率”問題。

為了美化環境，某市加大了對綠化的投資，2007年用于綠化投資20萬元，2009年用于綠化投資28.8萬元，求這兩年綠化投資的平均增長率。

1.問題分析

假設這兩年綠化投資的平均增長率為x，那么2008年用于綠化的投資額為多少元？那么2009年用于綠化的投資額為多少元？

2.模型建立

2008年用于綠化的投資額為：20（1+x）。

2009年用于綠化的投資額為：20（1+x）2。

根據2009年用于綠化的投資28.8萬元，

得到方程20（1+x）2=28.8。

如果設起始數據為a，終止數據為b，平均變化率為x，則經過兩次增長或降低后得到方程形式為a（1+x）2=b或者a（1-x）2=b。

3.對數學模型求解并回歸實際問題

解方程20（1+x）2=28.8得：

x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）。

故這兩年綠化投資的平均增長率為20%。

二、建立“幾何”模型

幾何與人類生活和實際密切相關，諸如測量、航海、建筑、工程定位、道路拱橋設計等涉及一定圖形的性質時，常需建立“幾何模型”，把實際問題轉化為幾何問題加以解決。

案例2：圓中“垂徑定理及其推論”的應用問題。

如圖1，一座橋的橋拱是圓弧形（水面以上部分），測量時只測到橋下水面寬AB為16米，橋拱最深處離水面4米。

圖1圖2 （1）求橋拱半徑。

（2）大雨過后，橋下面河面寬度為12米，水面漲高了多少？

分析：如圖2所示，把實際問題轉化成數學問題。（1）求橋拱半徑也就是求圖中OB的長度。在Rt△BOE中，OE=OG-EG，即為半徑與拱高的差，BE即為AB的一半。設橋拱半徑為R，根據勾股定理得R2=（R-4）2+82，求得R=10，即橋拱半徑為10米。(2)水面漲高的部分即為圖中線段EF的長度，它是圖中兩弦心距OF與OE的差。從一問中能求得OE=10-4=6；OF要在Rt△BOF中求得，OD是10，DF是6，可求OF=8。所以EF=2，即水面漲高了2米。

三、建立“函數”模型

函數反映了事物間的廣泛聯系，揭示了現實世界眾多的數量關系及運動規律。現實生活中，諸多問題常可建立函數模型求解。

案例3：“二次函數”的應用問題。

一名運動員擲鉛球，鉛球剛出手時離地面的高度為米，鉛球運行時距離地面最大高度是3米，此時鉛球沿水平方向行進了4米。已知鉛球運行的路線是拋物線，求鉛球落地時運行的水平距離。

分析：如圖建立適當的直角坐標系，把實際問題中的已知數量轉化成圖中拋物線上點的坐標A（0，）、B（4，3）。設二次函數的頂點式y=a(x-4)2+3，把x=0、y=代入，求得a=-，得二次函數解析式為y=-(x-4)2+3。題目中所求距離即為OC的長度，即把y=0代入得到的符合題意的x值。

令y=0，得-(x-4)2+3=0，解得 x1=10，x2=-2（舍去）；

所以鉛球落地時運行的水平距離為10米。

當然，要搞好數學建模教學，還需要結合數學建模的過程，對能力培養進行分解落實。

（1）要培養閱讀和語言轉化能力，這里包括由普通語言抽象為數學文字語言，再抽象為數學符號語言。因為只有出現了符號語言的形式，才能聯想和應用相應的數學結構；要培養抽象、概括能力，數學建模實質上也是一個去粗取精、去偽存真、抽象概括的過程。

（2）要培養數學檢索能力，從已有的知識中認定相應的數學模型。這與學生認知結構的好壞有關，不僅需要基本的數學能力，而且帶有更大的綜合性和靈活性。

（3）要培養聯系實際、全面考慮問題的能力。教學中，只有對上述能力具體落實，數學建模教學才能取得較好的效果。