數(shù)學新課標教學大綱中明確提出：“強調(diào)從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學的理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。”所以說強化數(shù)學建模能力，不僅能使學生更好地掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識，學會數(shù)學的基本思想和方法，也能增強學生應用數(shù)學的意識，提高分析問題、解決實際問題的能力。

數(shù)學建模的具體步驟：第一，根據(jù)實際問題的特點進行數(shù)學抽象，構(gòu)建恰當?shù)臄?shù)學模型。第二，對所得到的數(shù)學模型，進行邏輯推理或數(shù)學演算，求出所需的解答。第三，聯(lián)系實際問題，對所得到的解答進行深入討論，作出評價和解釋，返回到原來的實際問題中去，得出實際問題的答案。

中學階段常見的數(shù)學模型有方程模型、不等式模型、函數(shù)模型或幾何模型、統(tǒng)計模型等，我們把運用數(shù)學模型解決現(xiàn)實問題的方法統(tǒng)稱為應用建模。

近幾年筆者一直任教九年級數(shù)學，版本為《泰山版》，現(xiàn)針對任教內(nèi)容與大家一起探討幾個常見的數(shù)學模型。

一、方程模型

現(xiàn)實生活中廣泛存在著數(shù)量之間的相等關(guān)系，“方程（組）”模型則是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系最基本的數(shù)學模型，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更正確、更清晰認識、描述和把握現(xiàn)實世界。

案例1：一元二次方程中的“平均變化率”問題。

為了美化環(huán)境，某市加大了對綠化的投資，2007年用于綠化投資20萬元，2009年用于綠化投資28.8萬元，求這兩年綠化投資的平均增長率。

1.問題分析

假設(shè)這兩年綠化投資的平均增長率為x，那么2008年用于綠化的投資額為多少元？那么2009年用于綠化的投資額為多少元？

2.模型建立

2008年用于綠化的投資額為：20（1+x）。

2009年用于綠化的投資額為：20（1+x）2。

根據(jù)2009年用于綠化的投資28.8萬元，

得到方程20（1+x）2=28.8。

如果設(shè)起始數(shù)據(jù)為a，終止數(shù)據(jù)為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次增長或降低后得到方程形式為a（1+x）2=b或者a（1-x）2=b。

3.對數(shù)學模型求解并回歸實際問題

解方程20（1+x）2=28.8得：

x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）。

故這兩年綠化投資的平均增長率為20%。

二、建立“幾何”模型

幾何與人類生活和實際密切相關(guān)，諸如測量、航海、建筑、工程定位、道路拱橋設(shè)計等涉及一定圖形的性質(zhì)時，常需建立“幾何模型”，把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決。

案例2：圓中“垂徑定理及其推論”的應用問題。

如圖1，一座橋的橋拱是圓弧形（水面以上部分），測量時只測到橋下水面寬AB為16米，橋拱最深處離水面4米。

圖1圖2 （1）求橋拱半徑。

（2）大雨過后，橋下面河面寬度為12米，水面漲高了多少？

分析：如圖2所示，把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題。（1）求橋拱半徑也就是求圖中OB的長度。在Rt△BOE中，OE=OG-EG，即為半徑與拱高的差，BE即為AB的一半。設(shè)橋拱半徑為R，根據(jù)勾股定理得R2=（R-4）2+82，求得R=10，即橋拱半徑為10米。(2)水面漲高的部分即為圖中線段EF的長度，它是圖中兩弦心距OF與OE的差。從一問中能求得OE=10-4=6；OF要在Rt△BOF中求得，OD是10，DF是6，可求OF=8。所以EF=2，即水面漲高了2米。

三、建立“函數(shù)”模型

函數(shù)反映了事物間的廣泛聯(lián)系，揭示了現(xiàn)實世界眾多的數(shù)量關(guān)系及運動規(guī)律。現(xiàn)實生活中，諸多問題常可建立函數(shù)模型求解。

案例3：“二次函數(shù)”的應用問題。

一名運動員擲鉛球，鉛球剛出手時離地面的高度為米，鉛球運行時距離地面最大高度是3米，此時鉛球沿水平方向行進了4米。已知鉛球運行的路線是拋物線，求鉛球落地時運行的水平距離。

分析：如圖建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担褜嶋H問題中的已知數(shù)量轉(zhuǎn)化成圖中拋物線上點的坐標A（0，）、B（4，3）。設(shè)二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a(x-4)2+3，把x=0、y=代入，求得a=-，得二次函數(shù)解析式為y=-(x-4)2+3。題目中所求距離即為OC的長度，即把y=0代入得到的符合題意的x值。

令y=0，得-(x-4)2+3=0，解得 x1=10，x2=-2（舍去）；

所以鉛球落地時運行的水平距離為10米。

當然，要搞好數(shù)學建模教學，還需要結(jié)合數(shù)學建模的過程，對能力培養(yǎng)進行分解落實。

（1）要培養(yǎng)閱讀和語言轉(zhuǎn)化能力，這里包括由普通語言抽象為數(shù)學文字語言，再抽象為數(shù)學符號語言。因為只有出現(xiàn)了符號語言的形式，才能聯(lián)想和應用相應的數(shù)學結(jié)構(gòu)；要培養(yǎng)抽象、概括能力，數(shù)學建模實質(zhì)上也是一個去粗取精、去偽存真、抽象概括的過程。

（2）要培養(yǎng)數(shù)學檢索能力，從已有的知識中認定相應的數(shù)學模型。這與學生認知結(jié)構(gòu)的好壞有關(guān)，不僅需要基本的數(shù)學能力，而且?guī)в懈蟮木C合性和靈活性。

（3）要培養(yǎng)聯(lián)系實際、全面考慮問題的能力。教學中，只有對上述能力具體落實，數(shù)學建模教學才能取得較好的效果。