： 數學，作為一門研究現實世界數量關系和空間形式的科學，在它產生和發展的歷史長河中，一直是和人們生活的實際需要密切相關的。作為用數學方法解決實際問題的第一步，數學建模自然有著與數學同樣悠久的歷史。兩千多年以前創立的歐幾里德幾何，17世紀發現的牛頓萬有引力定律，都是科學發展史上數學建模的成功范例。???

一、數學建模意義

數學模型具有解釋、判斷、預測等重要功能，它在各個領域的應用會越來越廣泛．

就教育領域來說，數學建模課程可以培養和提高學生下列能力：

（1）洞察能力；

（2）數學語言翻譯能力；

（3）綜合應用分析能力；

（4）聯想能力；

（5）各種當代科技最新成果的使用能力．

二、數學建模方法

常用的數學建模方法如下：

（一）機理分析法 從基本物理定律以及系統的結構數據來推導出數學模型的方法

1. 比例分析法 —— 建立變量之間函數關系的最基本、最常用的方法.

2. 代數方法——求解離散問題（離散的數據、符號、圖形）的主要方法.

3. 邏輯方法——是數學理論研究的重要方法，用以解決社會學和經濟學等領域的實際問題，在決策論，對策論等學科中得到廣泛應用.

4. 常微分方程——解決兩個變量之間的變化規律，關鍵是建立“瞬時變化率”的表達式．

5. 偏微分方程——解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規律．

（二）數據分析法 從大量的觀測數據利用統計方法建立數學模型的方法

1. 回歸分析法——用于對函數的一組觀測值，確定函數的表達式，由于處理的是靜態的獨立數據，故稱為數理統計方法．

2. 時序分析法——處理的是動態的相關數據，又稱為過程統計方法．

(三)仿真和其他方法

1. 計算機仿真（模擬）——實質上是統計估計方法，等效于抽樣試驗．

① 離散系統仿真——有一組狀態變量．

② 連續系統仿真——有解析表達式或系統結構圖．

2. 因子試驗法——在系統上作局部試驗，再根據試驗結果進行不斷分析修改，求得所需的模型結構．

3. 人工現實法——基于對系統過去行為的了解和對未來希望達到的目標，并考慮到系統有關因素的可能變化，人為地組成一個系統．

三、數學建模的幾種模式

數學建模的研究性學習是學生探究問題的過程，主要由學生自己完成，學生具有高度的主體性，注重學生在學習過程中體驗，是一種建構活動，是一種形成活動，一種反思活動；研究性學習具有實踐性，能使學生更好地理解數學在實際中的應用；研究性學習具有開放性。

教學實踐中，我采用的具體模式有以下幾種：

模式1．統一問題——研究報告模式

教師認真選擇或者構造實際問題或實際問題系列，給出解決問題要求或主要線索，由學生個人或小組按照教師的要求或提示，用一個較長的作業周期（一般不少于一星期），獨立完成求解任務。條件合適時，還可以組織交流和答辯。

模式2．調查報告模式

調查報告模式是課外活動課內交流的形式。一般分兩種情況，一是要求學生自己利用休息時間，在現實生活中尋找與此部分知識相關的問題，并寫成調查報告，用于課上交流；二是統一內容，一起針對一個實際問題，選擇課題學習方式，并提出解決問題方案，寫成調查報告，用于課上交流。兩種方式有不同側重點，對學生能力的培養也不盡相同。前者著重于發現生活中處處有數學，后者側重于對同一實際問題，不同的課題學習、建模方案。在這個過程中，學生把學習知識、應用探索發現、使用計算機或其他測量工具等有機的結合起來。在他們自主地解決問題的過程，學數學、用數學、獲得“微科研”的體驗，培養了協作精神和關注社會，關注生活的社會責任感和主人翁意識；培養了不因循守舊的創新意識和實踐能力?；氐秸n堂上，同學們暢所欲言，真正實現了師生互動、生生互動，學生的認知情緒和探求事物的心理得到滿足；同時開放的問題情景和開放性命題，供學生思維和探求的懸念較多，激發了學生的學習興趣和成就感。 模式3．優秀建模案例研讀模式

此模式是一種課下閱讀，課內交流。選定一篇學生數學建模優秀論文，學生課下閱讀。

首先，對學生提出如下要求：了解原作所提的問題背景；理解原作建模思想、方法，求解方式；了解原作的結論，如果你擁有原作者的實際問題，你將如何解決？

其次，指定兩名同學作為主講人，主持課上的學習與討論。教師對主講人的指導分兩個方面：一是語言文字關，要提醒學生用準確、簡練的文字表述以及適當的語速語調；二是論文整體結構的把握，各部分在全篇的地方作用是什么？要求主講的學生對原作不僅下工夫去讀，甚至去計算、重新組合；為了能正確回答同學們的問題，需查閱大量的相關書籍，應該說，主講人最辛苦，收獲也最大，因此是最好的數學學習。學習和研究別人的數學建模成果，雖然不同于自己做課題，但這對于培養學生自主學習的能力，以及從他人的思路和方法中學到如何做課題無疑具有積極的意義，這樣做充分利用了學生優秀論文這一寶貴的教育資源。這種課堂上的老師，不再是編劇、導演、主演和正確的化身，而是動態的變換自己角色，成為學生學習的參與者、參謀和欣賞者。

模式4．“導學探索，自主解決”模式

該模式主要通過如下幾個過程完成：

（1）設置問題或構造問題環境

（2）通過探索討論，提煉數學模型，形成猜想或分解成有目標的“小任務”

（3）激勵學生自主地嘗試解決問題

（4）引導評價，及時總結，鞏固成果

（5）求異探新，把問題的探索和發現解決的過程延續到課外

模式5．課外活動的“四步模式”

數學課外活動是課堂的延伸，是拓展學生知識面，提高學生多方面數學素質能力的好形式。我常常把每學期的數學建?；顒影唇虒W周期設計，在每一個教學周期中都基本含有以下四個階段：

第一階段：讓學生感受到研究生活中的數學問題是十分有益而又有趣的事。在這個階段由淺入深安排一些用數學知識巧妙解決的問題，如投資，經營，贊助中的問題，二進制的應用，體育賽制等內容。這些內容貼近學生實際，能有效地調動學生的積極性。

第二階段：隨著學習的深入，問題難度加大了，在學生感到問題棘手，知識匱乏時可以向他們介紹有關知識。有目的地學習，學生學習積極性高，效果好。

第三階段：前面兩個階段研究的問題還是比較容易找到相應的數學工具解決的實際問題，有大部分是為了訓練學生應用意識和能力而將實際問題簡化而編成的題，離真正的數學建模學習還有很大的差距。我們所以提出條件更模糊，解決方向也不明確的實際問題，帶領學生一起去解決。

第四階段：在接觸了一些數學應用的實例之后，學生已躍躍欲試，希望自己能夠獨立解決一些實際問題。但往往由于問題涉及的因素較為復雜，學生社會經驗貧乏及多種學科綜合運用的能力不足使他們在解決問題時困難重重。這時我們或者指導學生去有目的地學習有關知識，鼓勵他們去向專家咨詢，逐步明確解決的方向。

四、數學建模效果

實踐表明，數學建模的學習有利于培養學生學習數學的興趣和自信；有利于培養學生的“潛創造力”；有助于學習策略和方法的形成；有利于培養學生的綜合素質和促進學生全面發展；可以促使教師自覺轉變觀念，不斷學習，更新知識；有利于教師提高自身的科研能力和創造力；有利于培養學生合作學習的能力；有利于培養學生處理信息的能力；有利于學生形成正確的數學觀；有利于學生體驗數學與生活、數學與其它科學的聯系；有利于發現學生的創新意識。

[1] 《數學建模導論》 陳理榮主編 北京：北京郵電大學出版社，1999

[2] 《數學建?！吩砼c方法 蔡鎖章主編 北京：海洋出版社，2000

[3] 《數學建模的理論與實踐》 吳翊，吳孟達，成禮智編著 長沙：國防科技大學出版社，1999