管網可調性和穩定性的定量分析
江億
摘要：為了研究熱網及空調水系統的調節特性，設計調節性能好的管網，評價不同連接方式的管網對調節特性的影響，給出了水系統變流量調節時，各用戶支路可調性和穩定性的定量定義及它們的具體計算方法與現場實測驗方法。
關鍵詞：管網 調節特性 變流量系統 計算方法
水網是暖通空調系統的重要組成部分。供熱系統的運行調節主要是熱水管網的調節。隨著系統規模的增大，空調冷凍水系統、冷卻水系統也愈來愈復雜，愈來愈重要。水系統的任務是通過水的循環來傳輸冷量和熱量，由于系統負荷的變化，導致各個用戶要求通過的循環水量也要隨之變化。這就要求對管網進行調節以實現這種改變了的流量分配。許多運行調節中的問題都源于對管網的這種調節中。例如，有時通過調節閥門，很能難準確地實現要求的流量，圖1為閥門開度與流量變化關系一例。此時，盡管隨閥門開度增大，流量可以在0到100%范圍內變化，但實際上很難真正達到中間的某個流量，調節性能很不好。由于流量難以準確調節，就導致溫度不能準確調節，配有自動控制的閥門還會來回振蕩，此時我們稱其為"可調性差"。再一種情況是幾個支路間的相互影響。一個支路開大閥門以加大流量，鄰近支路流量就會相應減少。我們稱此為"穩定性差"。設計管網時除滿足其流速、壓降、噪聲等方面的要求，還希望系統能夠有較好的"可調性"和"穩定性"。在對系統進行調節或實施自動控制時，還希望了解其可調性及穩定性，從而采取相應的調節手段和控制算法。然而盡管這兩個概念一直被設計和運行人員重視，但一直未見具體的定量定義及定量度量方法，從而對這兩方面的性能僅能進行定性的分析與評價。為此，本文提出對這兩個性能的定量定義及其具體計算方法，并利用此方法對一實際系統進行一些分析以進一步說明其真正含義。
圖1 閥門調節過程一例
閥門兩端壓差恒定時通過閥門的流量G與閥門開度K之間的關系，可用下式給出：
（1）
式中Gmax為全開即K=1時的流量。對于所謂"線性特性"的調節閥，其相對流量與開度成正比，即：
（2）
然而，當此閥門與一個設備（如熱交換器）串聯時，其流量特性就不再是線性。此時若支路兩端的壓差Δp為常數，則可導出通過閥門的相對流量為：
（3）
式中m為閥門全開時該支路上除閥門外其它部分的壓降與閥門的壓降之比。當m=0即其它壓降可忽略不計時，G/Gmax=K。只有這時閥門調節特性才真正成為線性。圖2為不同m值時相對流量隨閥門開度K的變化。從圖中可看出當m=10時此支路的調節性能已經很差。
圖2 不同m值時的調節特性
實際上支路兩端壓差并不能恒定，往往由于與水泵或管網的其它部分連接而產生波動。此時其調節特性將進一步變差。圖3為一簡單的循環水系統，當閥V全開且ab間的壓差為水泵兩端（cd間）壓差的三分之一時，不同m值時的調節特性由圖2中的虛線給出。比較圖2中的實線與虛線，可以看出管網的結構、水泵的特性都將影響支路最終的調節性能。這樣，一個支路上安裝一個閥門后，該閥門對此支路流量的調節作用與如下三個因素有關：（1）閥門本身的調節特性；（2）支路的阻力；（3）該支路外管網其它部分的影響。為了僅研究后兩個因素對調節性能的影響而不涉及閥門本身的特性，可以先考慮閥門為上述"線性調節特性"時該支路點的調節特性。此時，可將相對流量對開度K的導數在K=1即全開時的值定義為支路i的可調性Ri，即：
（4）
圖3 簡單的水系統一例
當支路i兩端為恒定壓差時，由式（3）知
（5）
當m=0時，Ri=1，這相應于線性調節特性；當m=10時，Ri=0.091，即調節性能很差。因此，對于線性閥門，R在0到1之間，愈接近1調節性能愈接近線性。實際管網中某支路的可調性可直接測得，可以測閥門開到90%時與閥門全開時的流量之比，得到
（6）
亦可通過測事實上該支路上部件（如熱交換器）兩側壓差Δp的變化來計算：
（7）
下面討論當已知管網結構參數及泵的性能曲線時，如何計算各用戶支路的可調性R。定義一個支路的阻力系數S為：
（8）
Δp為該支路兩端的壓降，G為該支路流量。因此，由式（4），可調性為：
（9）
Si為帶有閥門的支路的阻力系數，由式（5）可導出：
（10）
因此，
（11）
式中rGi， rSi分別為支路i的相對流量及相對阻力系數。
只要計算出支路流量Gi對支路阻力系數Si的導數，即可求出支路i的可調性。此導數與整個管網的結構及泵的特性均有關系，因此需對整個管網結構進行全面分析后，才能得到。按照圖論方法，管網拓撲結構可以用它的關聯矩陣A來描述，其中的元素ai，j為：
每個支路的兩個端點之壓差等于該
支路的阻力與支路上的泵的揚程之差（13）
式（13）中，G為表示支路流量的n階列向量；S為以各支路阻力系數為元素的n階列向量，阻力系數按式（8）定義；ΔH為以各支路上泵的揚程為元素的n階列向量，支路上無泵時，相應元素取作0；l為n×n單位矩陣，為點積，它構成n×n對角矩陣，對角元素值為對應支路阻力系數S與該支路流量的平方之積再乘以流動方向的符號，當流向與式（12）所定流向相同時，取正號。
將式（13）的第二式對S求偏導數，有
（14）
由此得到：
（15）
令為n×n對角陣，式（15）成為
（16）
由式（13）的第一式可導出
（17）
即
（18）
由此可得到，
（19）
將其代入式（16），可得到
（20）
式（20）給出任一支路的流量對管網中任一支路的阻力系數的偏導數，其中主對角線元素即為相應支路的流量對該支路阻力系數的偏導數。由式（20）知 由兩部分組成，第二部分 對角矩陣，第i個角線上的元素為，如果此支路無泵，則為，這相當于該支路兩端壓差為常數時流量對阻力系數的導數。由此，第一部分為管網其它部分對該支路的影響，也就是由于閥門調整導致支路兩端點間壓差的變化造成的影響。
為計算可調度，需知各支路相對流量對相對阻力系數的導數，由此有：
（21）
這樣第i個支路的可調度即成為矩陣 的第i個對角元素 與 之積。可以證明，不論何種形式的管網結構， 總在0～-0.5之間，它給出網絡的其它部分對該支路可調性的影響。 表明支路兩端壓差恒定不變； 表明支路流量恒定不變。當接近于0時，則表明該支路可調性很差，即使支路上閥門之外的部件阻力非常小，mi=0，也不能改善調節性能。當 較大時可以選用較小阻力的閥門，使mi稍大，在不影響調節性能的前提下減少閥門壓降帶來的能耗；當較小時，為保證調節性能不惡化，只好選阻力大的閥門，使mi接近0。采用理想的等百分比流量特性的閥門在K=1處的導數大于1，也可以在偏小時改善其調節特性。
圖4為由5個可調整的支路及一些主干管構成的循環水網。表1給了同各支路的流量及壓降。圖4中同時標出這種流量分布下干管的壓降，若水泵P的特性曲線為：
圖4 循環水網例
流量
/t/h
壓降
/m
1
2
3
4
5
330
30
100
100
100
10
10
6
4
4
則可按照式（20）計算出各支路流量對支路阻力的導數。下面給出5個支路的流量對阻力系數的導數 ：
由此可由式（21）計算出這5個支路的 。從表2可以看出，這可調性最好的支路為支路2（0.948），它幾乎相當于兩端壓差為常數時的調節特性，這是由于此支路本身流量最小，壓降最大，即阻力系數最大。可調性最差的是主循環泵所在支路（0.43），這是由于該支路流量最大，阻力系數Δp/G2最小，并且由于水泵的壓力隨流量增加而減少，也使調節性能變差（見圖5），此時如果此支路中裝有冷凍機蒸發器，設蒸發器水側阻力為閥全開時的閥門阻力的2倍，即m=2，則該支路的可調性R為：
1
2
3
4
5
0.43
0.948
0.762
0.676
0.676
這表明很難通過調整該支路的閥門來任意調整它的流量。對于支路3，4，5，要使其可調性R大于0.5，則支路的m應該滿足：
支路3的m小于0.52，支路4，5的m須小于0.35，這就是說支路中除閥門外其它部件的阻力不能超過閥門全開時阻力的52%（支路3）或35%（支路4，5）。這樣，大部分壓降都消耗在閥門上，這就是提高可調性的代價。
實際上三個用戶支路3，4，5中除了閥門阻力外，其它部件的阻力應該大致相同（例如為同樣的表冷器），降低m值只有通過提高循環泵的壓力，增大調節閥的阻力而實現。上例中循環水泵壓力為20m，若表冷器壓降為3m，即支路3，4，5的m值分別為3/（6-3）=1，3/（4-3）=3，3/（4-3）=3，可調性分別為R3=0.381，R4=R5=0.169。若將循環水泵揚程增加到30m，可計算出此時的R3=0.574 ，R4=R5=0.491，可調性得到顯著改善。如果支路1中冷凍機蒸發器水側壓降為5m，將循環水泵揚程增加到30m后，該支路的可調性仍僅為R1=0.293，仍較差。可計算出，要使R1達到0.5，水泵揚程需增至35m以上。此時支路1的閥門壓降為15m支路3，4，5上閥門平均壓降為10m，共25m，這樣，為了支路1達到較好的調節性能，70%的泵耗要消耗在各調節閥上。
為評價管網中各支路間的相互影響，可以這樣定義支路i的穩定性：
當調節支路i的閥門，使該支路流量變化ΔGi，這時若此支路與其它支路相互影響，則由于支路i的調節，會導致各支路的流量都有一些變化。其中一部分支路不希望流量被改變，因此可以調整這些支路的閥門，使這些支路的流量恢復到原來的流量，但這又使支路i流量向回變化ΔG'i，這兩個流量變化之比可稱作支路i的穩定性KS：
（22）
KS為0表明支路i流量將不使其它支路流量變化，或其它支路的調節不會影響支路i，因此穩定性最好；KS為1表示調節支路i后盡管流量有所變化，但其它支路為了保證其流量不變而進行的調節將又使i的流量恢復原狀。因此KS為1表示支路i的穩定性極不好；當0＜KS＜1時，經過一個回合的調節，支路i的流量僅變化了希望變化的流量ΔGi的（1- KS），若 ，則需要這樣調節L個回合，支路i才能達到要求的流量。
分析圖4所示管網，若調節支路5時，僅要求支路3，4的流量維持不變所計算出的支路5的穩定性KS，與要求支路1，3，4流量都不變時所計算出來的穩定性KS是不同的。進一步，若要求支路1，2，3，4的流量都不變，則支路5的流量為一定值G1-G2-G3-G4，也不可能改變，KS必為1。若不對任何支路的流量有要求，則KS為0。因此，穩定性KS不是單獨對一個支路定義的，而是對一個支路及若干個要求流量不變的支路的集合所定義的。KS是以描繪了管網中一個支路D與另一個支路集合F，并且有 所定義的。因此，KS為D，F的函數：
KS= KS (D，F)
若F為空集，KS=0，若管網除F集合所包括的支路外的全部支路構成的部分關聯矩陣 可逆，則這些支路的流量將由集合F內各支路的流量唯一決定。因此KS=1，只有 奇異時，KS (D，F)才有意義。
當可以測量管網中各支路流量時，KS可以直接測出，這時需用先測出D和F所對應的各支路流量，然后將支路D中的閥門開大，使該支路流量增加ΔGi（用流量計測出），其流量為Gi'，再調整F所對應的各支路中的閥門，使這些支路的流量恢復到原有的值，這時再測量支路D的流量為Gi ''，則
對于具有n個支路的管網，可用一個n階行向量來定義支路D：
D=（0，0，…0，1，0，0…） （23）
其非零元素對應著所要研究的云貴。
同樣用m×n階矩陣來定義集合F：
（24）
使F的每一行對應于一個支路，其非零元素的位置指明是管網中的哪一個支路。 表明不存在向量X使D=FX成立。
當調節支路D，使其阻力系數變化ΔSi，支路D的流量變化ΔGi為：
（25）
同時造成F所對應的支路的流量變化為
（26）
調節F所對應支路的閥門，各支路的流量變化ΔGF為：
（27）
要使F對應的各支路流量恢復原狀，式（26）和（27）給出的ΔGF應相等：
（28）
由此得到
（29）
由F所對應的各支路進行了ΔSF的調節而造成支路D的流量變化ΔGi'為：
（30）
這樣，由穩定性Ks的定義有：
（31）
式（31）為穩定性Ks的計算方法。只要求出 ，即可根據所定義的支路D和支路集合F，由式（31）求出穩定性Ks。
由圖4所示管網，可計算出13種支路組合情況下的穩定性，見表3。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
1
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
2，3，4，5
3，4，5
1，3，4，5
3，4，5
1，2，4，5
1，4，5
2，4，5，
4，5，
1，2，3，5
1，3，5
2，3，5
3，5
5
1
0.811
1
0.059
1
0.807
0.308
0.28
1
0.851
0.428
0.403
0.231
表3中序號1，3，5，9這4種情況的穩定性KS均為1，即不穩定，這是由于此時F所包括的支路已完全確定了系統的流量分布。因此要使F對應的支路流量不變，支路D必須保持原流量，不能產生任何變化。此時若各支路均安裝獨立的自控閥門，以流量為目標獨立進行控制調節，必然振蕩不止。穩定度最好的是序號4的工況，即調節支路2，并要求支路3，4，5流量不變，由于此支路流量最小（僅為其它支路的30%），阻力最大（壓降10m），阻力系數為支路的3的18倍數，因此穩定度達0.059，即它的流量調節基本上不會影響其它支路的流量。序號13對應的工況是指支路4，5間的相互影響，穩定度為0.231。由于0.2313=0.012，約為百分之一，因此調整3個回合，即可使支路4達到要求流量而維持支路5的流量不變。序號2，7，11對應的工況相當于不對循環泵支路流量有要求，僅關心各用戶支路（支路2也可以認為是一個用戶支路）時的情況，這對應于一般供暖用熱水系統。此時的穩定度分別為的0.059，0.308和0.428。分析管網結構，可以看出這主要與用戶支路壓降與干管壓降之比有關，此時2，3，4三個支路的支路壓降分另為10m，6m，4m。0.4285=0.014，表明要反復調節5個回合。這就是一般并聯循環水分配系統的穩定性。這就是一般并聯循環水分配系統的穩定性。序號6，10是要求循環泵支路流量不變，由一條旁通管（支路2）解決流量不平衡問題時，調整支路流量的情形。這對應于嚴格要求通過冷凍機蒸發器流量不變時的空調冷凍水系統，此時的穩定度分別為0.807和0.851。可見，當要求總循環泵流量不變時，僅靠旁通管來解決用戶流量與源的流量之差，系統的穩定性還是較差的。序號2是指通過調整循環泵所在支路的閥門，改變通過冷凍機蒸發器的流量，而各用戶支路的流量又不希望變化，由旁通管2解決二者的流量差時的情況，此時穩定度為0.811，這表明循環泵處流量的調整將嚴重影響各用戶支路的流量，該點的穩定性很差。
從如上分析，可以看出用穩定度可以定量地分析管網內各支路的調節性能及各支路間的相互影響。
以上給出循環水網各用戶調節支路的可調性及穩定性的定量分析，有些水網中調整主循環泵或二級泵轉速， 以維持管網末端壓差，這時可用同樣的方法定義各用戶支路的可調性與穩定性，只是在式（13）中增加一個條件，指出末端壓差永遠為常數并且泵的轉速要隨之確定，從而泵揚程ΔH不再僅是總流量的函數，而且還是轉速的函數，而轉速則由各用戶支路的變化引起末端壓差的變化所決定。因此式（16）中的矩陣M不再是對角矩陣。由此可以用同樣思路求得 ，進而得到各用戶支路的可調性R及穩定性KS。
有時在用戶支路中安裝加壓泵，不是用閥門而是通過調整加壓泵的轉速來調整支路流量，此時可調性R可用相對流量對轉速的導數在轉速最高時的數值來確定。這可以通過同樣的推導過程得出。用戶支路間的穩定性則完全按同樣方式定義。只是當各用戶支路都通過加壓泵轉速而不是通過閥門來將流量調到原數值時， 應改為 ，再用同樣思路來推導，可以發現若采用泵代替閥，通過調轉速來改變流量，則可調性與穩定性都會得到顯著改善。
對于風系統，上述方法同樣適用，尤其是分析變風量系統的穩定性和空氣處理室中風閥對閥回風比的調節作用時，可用上述分析方法。與水網不同的是，風系統中三通的局部阻力系數與三通處流量分配比有關，不能再按照常數來考慮。因此部分阻力系數S值將是風量G的函數，使得最終的結果要比本文中得到的公式更復雜些。
1 石兆玉.供熱系統運行調節與控制.清華大學出版社。
2 高養田.空調變流量水系統設計技術發展.暖通空調，1996，26(3)(4) .
3 汪善國.商業空調冷水系統幾個問題的探討.暖通空調，1996，26(5) .
