摘要：本文討論水力模型的基本形式和管網(wǎng)中管件的定理，以及在水力分析中的應(yīng)用。作者提出了管網(wǎng)部件的概念，并給出管件的定義及其組合基本定理。文中指出根據(jù)基本定理的兩個(gè)重要參數(shù)―管件的比例系數(shù)和管件的指數(shù)系數(shù)，可以確定管件任一斷面的冪函數(shù)數(shù)學(xué)模型，并給出模型的求法。文中也討論基本定理的應(yīng)用和管網(wǎng)水力學(xué)分析方法。

關(guān)鍵詞：管網(wǎng) 水力學(xué) 模型 管件

一、引言

一般管網(wǎng)的管段水力計(jì)算沿用理論公式或經(jīng)驗(yàn)公式，在國外它們也稱為Darcy-Weisbach公式或Hazen-Williams公式。兩個(gè)公式是一致的，只是表達(dá)形式不同。上述公式是管網(wǎng)分析的基礎(chǔ)，無論樹狀管網(wǎng)或環(huán)狀管網(wǎng)水力分析一般都是從管網(wǎng)中任一個(gè)節(jié)點(diǎn)開始，或從水源端開始逐段計(jì)算分析最后得到全部管網(wǎng)的水力參數(shù)。這種傳統(tǒng)計(jì)算方法只能得出管網(wǎng)的靜態(tài)參數(shù)，無法準(zhǔn)確給出管網(wǎng)在與水泵聯(lián)合工作的動(dòng)態(tài)情況，即給出整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)的變化情況。如Ｑ、Ｈ為水源節(jié)點(diǎn)，即根據(jù)Ｑ、Ｈ值選擇水泵，期望能使管網(wǎng)工作在選定的Ｑ、Ｈ值附近。現(xiàn)代管網(wǎng)分析，從精確輸水、節(jié)水、節(jié)能和高效利用能源考慮，特別是一些需要實(shí)時(shí)控制的系統(tǒng)，關(guān)注管網(wǎng)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)狀態(tài)，以及管網(wǎng)與水源聯(lián)合工作的狀態(tài)變化，已經(jīng)顯得十分必要了。本文作者于1988年發(fā)表了《噴灌系統(tǒng)自適應(yīng)模擬方法》，文中給出了樹狀管網(wǎng)的動(dòng)態(tài)模擬方法。隨著人們對(duì)節(jié)能、節(jié)水的需求越來越迫切，有必要對(duì)管網(wǎng)分析的理論進(jìn)行全面的探討。本文在此提出解決復(fù)雜管網(wǎng)分析問題所需的基本原理和方法。

二、Darcy-Weisbach和Hazen-Williams公式

Darcy-Weisbach公式：

一般沿程阻力系數(shù)f=f(Q) ， 即f是流量Ｑ的函數(shù)，但在紊流的流態(tài)時(shí)，f與Ｑ無關(guān)。Hazen-Williams公式：

這里如管網(wǎng)布置完成，管長、管道采用的材料已確定，兩者經(jīng)變換可得到統(tǒng)一的形式，不妨將兩者的寫成統(tǒng)一的形式如下：

（１）

式中：

a， b―為不等于零的待定實(shí)數(shù)。根據(jù)GBJ85-85《噴灌工程技術(shù)規(guī)范》給出的水頭損失計(jì)算公式，，容易得到：

，。

在紊流的流態(tài)時(shí)，一般b為的實(shí)數(shù)。即在其有意義的定義域?yàn)閱握{(diào)增的冪函數(shù)。

圖１

圖１即為式（１）的函數(shù)曲線。

定義１：

將式（１）所表達(dá)的函數(shù)曲線稱為管件的流量壓力特征曲線。

定義２：

將對(duì)水流呈現(xiàn)阻力并消耗能量的管網(wǎng)部件稱為管件。管件具有式（１）所示的數(shù)學(xué)模型。

根據(jù)定義２，也將式（１）稱為管件的冪函數(shù)數(shù)學(xué)模型。不難看出式（１）對(duì)局部損失也成立，故管件數(shù)學(xué)模型也可用來表示管網(wǎng)中產(chǎn)生局部損失的部件。

這樣，管件就將管網(wǎng)中的管段、管接頭、閘閥、三通和噴頭等管網(wǎng)中的部件包含在內(nèi)，它們?cè)诠芫W(wǎng)中都表現(xiàn)為消耗水能，故它們都有如式（１）的相同數(shù)學(xué)模型。

定義３：

對(duì)于在管網(wǎng)中能提升管道壓力，并向管網(wǎng)提供水量的部件稱為水源部件。簡(jiǎn)稱：水源。

一般的水源部件有：水泵、高位水塔、水庫等。對(duì)于水泵其數(shù)學(xué)模型一般采用以下方程：

（２）

式中：

Ａ、Ｂ、Ｃ―為常數(shù)。

對(duì)于理想的水庫，其模型可表示為：

（３）

其中：

Ｃ―為常數(shù)。

一般水源數(shù)學(xué)模型總可以表示為：

（４）

式中：

a―為指數(shù)系數(shù)。

三、管件組合數(shù)學(xué)模型

1.管件組合模型

定理１：

任何管件的組合，其組合后的管件，以管件斷面的流量和壓力水頭表示的數(shù)學(xué)模型具有冪函數(shù)的形式。即無論組合前和組合后管件數(shù)學(xué)模型都是冪函數(shù)，只是它們的比例系數(shù)和指數(shù)系數(shù)的值有所變化。

證明如下：

這里用數(shù)學(xué)歸納法證明之。

（１）當(dāng)n=1時(shí)

其中Ｈo是第一個(gè)管件的出水端斷面位置水頭，該水頭是相對(duì)的。當(dāng)以第一個(gè)管件的首端斷面定為基準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)，Ｈo=0 （以下如沒有特別指出Ｈ表示斷面的壓力水頭，Ｑ表示通過斷面的流量） 則

這就是說n=1時(shí)定理１成立。

（２）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有

對(duì)于沒有流量交換的管件

，上面的定理１成立，則

那么，管段的進(jìn)水端k+1

不失一般性，不妨設(shè)，因冪函數(shù)在定義域的第一象限內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，總存在一個(gè)使得

令 則有：

即

成立。

對(duì)于有流量交換的管件

這里用q來表示管件進(jìn)口端的流量與出口端流量的不同。

雖然，但兩者具有可互換性，如，用以上方法，同理可得

如，因冪函數(shù)在定義域的第一象限內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，總存在一個(gè)使得

綜上所論，可得

成立，證畢。

定理2：

管件中的流量Ｑ與壓力水頭Ｈ互為冪函數(shù)的映射。

該定理容易從

可以推得

只要令：

即可。從以上分析中可知定理2成立。

以下稱：

a ， b為管件的流量系數(shù)，管件的流量指數(shù)；

為管件的壓力水頭系數(shù)，管件的壓力水頭的指數(shù)。

（１）對(duì)于沒有流量交換的管件

已知管件進(jìn)水端的冪函數(shù)模型，可以求出管件出水端的冪函數(shù)表達(dá)式。

已知：，由于

即

圖２

等式右邊已知，令，并兩邊取自然對(duì)數(shù)，則有

在管件冪函數(shù)有意義的第一象限，取Q=1，Q=e 兩點(diǎn)可得

（５）

（６）

（２）對(duì)于有流量交換的管件

已知進(jìn)水端的： 令 兩邊取對(duì)數(shù)，則有

圖３

如已知上述函數(shù)曲線上的兩點(diǎn) 可用以下線性方程組

（７）

求出a2和b2 。

4.管件簡(jiǎn)單聯(lián)接方式

（１） 串聯(lián)

如圖4所示的抽象管網(wǎng)中，我們稱之為串聯(lián)管網(wǎng)。

把管件一個(gè)接著一個(gè)地串接在一起，中間沒有分岔，在水源部件的作用下，水流只有一條通道，這種聯(lián)接方式稱為管件的串聯(lián)。如將管件的hf 稱為管阻，即

如串聯(lián)管件用同一種材料做成，水流的流態(tài)處在紊流區(qū)，bi =b 。則

即串聯(lián)管件的等效管件其參數(shù)

圖４

（８）

把管件的一端都聯(lián)接在同一點(diǎn)，另一端都聯(lián)接在另外一點(diǎn)，在水源部件的作用下，它們兩端的水壓都相同，這種聯(lián)接方式稱為管件的并聯(lián)。見圖7

如并聯(lián)管件用同一種材料做成，水流的流態(tài)處在紊流區(qū)，。則

即并聯(lián)管件的等效管件的

圖５

既有管件串聯(lián)又并聯(lián)的管路稱為混聯(lián)管件。有串聯(lián)、并聯(lián)管件的知識(shí)不難分步求出混聯(lián)管件的參數(shù)。

根據(jù)以上分析可知，當(dāng)我們得到管網(wǎng)的水源節(jié)點(diǎn)處的管件端冪函數(shù)的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)a，b后，可以將模型

和水源部件模型，這里不妨假定為水泵，其模型為

這兩個(gè)模型的曲線放入同一個(gè)座標(biāo)系中，容易看出兩條曲線的交點(diǎn)即為管網(wǎng)系統(tǒng)的工作點(diǎn)。由工作點(diǎn)的值，我們很容易得出整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)值。

根據(jù)以上模型我們可以用計(jì)算機(jī)模擬出管網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，并調(diào)整工作點(diǎn)使水泵工作于高效區(qū)。

圖６

對(duì)于由各管件組成的樹狀管網(wǎng)，按上述方法逐個(gè)推出的管件端的冪函數(shù)模型，運(yùn)算量大、計(jì)算和存儲(chǔ)要求高。事實(shí)上，我們可以根據(jù)定理１，用n組計(jì)算得的值作為觀測(cè)量來推斷出管網(wǎng)水源端的冪函數(shù)參數(shù)a，b。

具體說，我們已知水源節(jié)點(diǎn)管件進(jìn)水端滿足冪函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，不妨從樹狀管網(wǎng)最遠(yuǎn)離水源的末端管件開始，任取若干組輸入數(shù)據(jù)，從中得到一系列的水源節(jié)點(diǎn)進(jìn)水端的Ｑ， H，它們?cè)诳刂评碚撝幸卜Q為觀測(cè)量。用這一系列Ｑ，Ｈ可以通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)的冪函數(shù)回歸方法容易得到管網(wǎng)進(jìn)水端的冪函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)a，b。詳見圖７。

這種方法也可用于管網(wǎng)中各管件模型未知，或者不確定的系統(tǒng)，比如可以用測(cè)量設(shè)備，測(cè)量不同的數(shù)個(gè)點(diǎn)后，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法得到管件的冪函數(shù)數(shù)學(xué)模型。同樣的方法可得到管件的組合數(shù)學(xué)模型和管網(wǎng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

以上我們只討論了樹狀管網(wǎng)，對(duì)于環(huán)狀管網(wǎng)，我們總可以找到一個(gè)最小的支撐樹，將問題化為樹狀管網(wǎng)進(jìn)行分析，最后加上聯(lián)接部分形成回路，完成環(huán)狀管網(wǎng)的分析工作。這里限于篇幅從略。

圖７

用本文提出的方法，雖然得到與某些圖解法相類似的圖表，如圖６，但其意義完全不同，而且這種變化十分重要。定理１指出管件斷面的Ｈ與Ｑ有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系是一種冪函數(shù)形式，比例系數(shù)a、指數(shù)系數(shù)b是兩個(gè)可以唯一確定模型的重要參數(shù)。本文中提出的水力學(xué)管網(wǎng)分析中的管件的定義、管件組合及其組合后的等效模型，以及管網(wǎng)系統(tǒng)的冪函數(shù)數(shù)學(xué)模型的識(shí)別方法，為解決管網(wǎng)實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)分析提供實(shí)用的理論和方法。

傳統(tǒng)的分析方法得出的是計(jì)算斷面的靜態(tài)Ｑ、Ｈ值。從本文提出的數(shù)學(xué)方法中，我們不僅能夠得到所計(jì)算節(jié)點(diǎn)的Ｑ、Ｈ值，有了節(jié)點(diǎn)斷面的比例系數(shù)a和指數(shù)系數(shù)b，我們還可以唯一地確定出一個(gè)冪函數(shù)來代表該節(jié)點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型。從一個(gè)工作點(diǎn)到一個(gè)函數(shù)給出的無數(shù)個(gè)可能的工作點(diǎn)，反映了我們觀察問題的角度的擴(kuò)展。這種新思路為我們用管網(wǎng)系統(tǒng)的自適應(yīng)模擬方法解決復(fù)雜管道系統(tǒng)的水力學(xué)問題提供了全新的途徑。

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