摘要：這里將介紹基于管網基本定理的復雜管網數學模型分析法，該方法也稱節點法。利用該方法可以將復雜管網的鄰接矩陣將簡單管道與復雜管網的分析方法統一起來。同時給出非線性矩陣方程的迭代解法初始參數的計算方法。

關鍵詞：非線性管網 節點法 水力分析

復雜管網分析方法有多種，近年新出現的有圖論法和有限元法[3][4]。兩種方法各有所長，圖論法將復雜的管網處理為相應的“網絡圖”，并建立相應的數學模型以適用范圍各不相同管網水力計算。有限元法通過局部的管元分析得出管網的數學模型。

管網水力分析的基礎是管段的水力學模型。常用的數學模型是采用Darcy-Weisbach 公式和 Hazen-Williams 公式。這兩個公式原用于管道沿程水力損失的計算，公式來源于理論研究和實驗得到的結果。這兩個公式的應用基礎是大量實驗統計得出的參數。Darcy-Weisbach 公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain 實驗公式和 Moody 圖表來求出沿程損失系數f[2]。文獻[1]論述了水力模型的基本形式和管網中管件的定理，該理論統一了局部損失和沿程損失的數學模型。這里進一步討論在復雜管網中，基于該定理并利用節點分析方法給出Kirchhoff 第一定律和第二定律的表示方法及其應用。

1. 管網模型

1.1. 管道模型

按文獻[1]介紹的：

定理1：任何管件的組合，其組合后的管件，以管件斷面的流量和壓力水頭表示的數學模型具有冪函數的形式。

（1）

式中：a， b為不會等于零的實系數；hf為管段的水頭損失；q是管段內的流量。

換言之，對于管段兩端，記上游端水頭為H2，下游端水頭為H1，即：

（2）

1.2. 復雜管網模型

對于復雜管網，這里所說的復雜是指有多環、多水源、多出流口的管網，對于這種管網可以用與一般管道同樣形式的矩陣公式來表示。

記：

式中： H為管段的節點水頭矢量；q為管網的管段流量；n為管網中的管段數量。

為了有利于統一表達式，記管段兩端的水頭為H1，H2 。

對于簡單管段有：

（4）

容易看出這種變形為采用線性方程組提供了方便。當第t次計算時，令：

（5）

式中： 管段在第t-1時的流量，在第t-1次計算時它是已知量； 是管段在第t時的假定流量。

q是有方向的矢量，其方向是由管段端點2指向端點1。換言之，端點2水頭大于端點1的水頭，這樣水才能從端點2流到端點1，流量的值才可能是正值。從數學的角度理解，假定H1，H2，q為不為零的實數，H1，H2前面的正負號可以表示為管段的端點i在流量指向的方向。

對于如圖1所示的管網，可以用管網鄰接矩陣A表示。

圖1. 一個簡單復雜管網圖

對于圖1按節點及管段編號來關聯，行是管段，列是節點。

①節點與1管段、2管段相連接，因假定管段的水流方向是由節點編號大端流向節點編號小端。①節點的鄰接向量是。同理：②節點的鄰接向量是，易知：

容易得到矩陣：

通常將以上矩陣稱為管網的鄰接矩陣，

如令：

圖1中與矩陣等式

（6）

對應的是以下矩陣：

（7）

對①節點有：

對②節點有：

表明矩陣等式可以表示節點流量守恒定律。

根據流量守恒定律和能量守恒定律，有的學科也稱為Kirchhoff 第一定律和第二定律。管網系統的兩個定律可表達為：

（8）

這也是節點分析法的關鍵方程組。

其中：

（9）

式中： Ac 節點與管段的鄰接矩陣；Af 節點與已知水頭的鄰接矩陣；Hc 管段的節點水頭矢量；Hf 已知節點水頭矢量。

而且，

是式（4）在管網中的矩陣表達。

以圖1的管網為例有：

而且，

采用計算機程序自動搜索分析，容易得到以上矩陣。同時，用矩陣表示的是：

=（10）

矩陣運算后可表示成以下方程：

（11）

其中H6是已知水塔的水頭。式（10）表明矩陣方法可以表示節點能量守恒定律。

以上分析雖然是針對圖1的實例進行，但沒有設立管網聯接及出流的特殊性條件，故所介紹的分析結果具有一般性。顯然，這種結果也可以通過采用“圖論法”和有限元法進行分析得到。

矩陣方程（8）是復雜管網的數學模型，對此模型的求解可以得到管網的水力學參數。如將Y(q)看作一個常數，該方程就是一個線性方程組，可將此線性方程組稱為非線性方程（8）的伴隨方程。注意到管網在第t-1時的流量為q(t-1)，在第t-1次計算時Y(q(t-1))是已知量；q(t)是管網在第t時的流量。

實際上是在迭代運算中令：

Y(q(t)) = Y(q(t-1))

因大多數管網它們的管段內流速v都在1~3 m/s之內。經驗證明這樣種情況下，令流速v=1作為t=0的初值比較合理。這時，矩陣方程（8）實際迭代時t為：

式中：Ai為i管段的斷面面積；n為管網的管段數。

當在te時，迭代中，當 時，認為方程解為： i=1，…，n ；k=1，…，m；m為管網的節點數。

其中， 為一相對小的數，工程上，一般取就行了。的值越小計算機的運算時間就越長。

由方程（8）變形得到方程：

（12）

式中，Hc管段的節點水頭矢量，是待求的未知量；Hf 為已知節點水頭矢量。q=是管段內的流量矢量，是待求的未知量；d是管網的出水量矢量，是已知量。

用線性方程組的解法容易經3~4次迭代得到方程（12）的解。

復雜管網可以用矩陣的形式表示，并可用節點法建立其矩陣方程。其方程為：

（12）

此方程是一個非線性方程，解此方程可用迭代法進行計算。迭代的初始參數及計算方法如下：

當 時，認為方程解為： i=1，…，n ；k=1，…，m；n為管網的管段數，m為管網的節點數。

[1] 李鳴，管網基本定理及其數學模型[J]，節水灌溉，2001 (1)8-11

[2] Haestad Methods， Thomas M. Walski， Advanced Water Distribution Modeling and Management [M]， Haestad Press， 2003

[3] 石 繼，張豐周，魏永曜，圖論法用于供水管網水力計算的研究 [J]，水利學報，1999 (2)

[4] 康躍虎，微灌系統水力學解析和設計[C]，陜西科學技術出版社，1999.4