摘要：向量具有豐富的物理背景，向量既是幾何的研究對象，又是代數的研究對象，是溝通代數、幾何的橋梁，是重要的數學模型。在高中數學中學習向量有助于學生體會數學與現實生活和其他學科的聯系，理解數學運算的意義及價值，發展運算能力，掌握處理幾何問題的一種方法，體會數形結合思想，增進對數學本質的理解。向量的教學應突出物理背景，注重向量的代數性質及其幾何意義，關注向量在物理、數學、現代科學技術中的應用。

關鍵詞：數學新課程；向量；教學

向量是高中數學新課程中的重要內容?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）中，在必修課程（數學4）、選修課程（系列2—1）中分別設置了平面向量與空間向量的內容。筆者在新課程教師培訓和實驗區聽課中了解到，相當一部分數學教師認為高中數學課程中的向量主要是作為解決幾何問題的一種工具，以簡化幾何證明。因此，對于向量教學的研究主要集中于向量在解幾何問題中的應用，向量教學的重點放在用向量解幾何問題的技巧上。本文試圖對高中數學新課程中向量內容的定位、向量的教育價值以及向量教學中應注意的幾個問題做一探討。

一、對向量的認識

向量早在19世紀就已成為數學家和物理學家研究的對象，20世紀初被引入中學數學。我國在1996年高中數學教學大綱中引入了向量。這次，《標準》中也設置了向量的內容。高中數學新課程中之所以設置向量的內容，是基于以下幾方面的認識。

（一）向量具有豐富的物理背景

矢量是物理學研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。如，力、位移、速度、加速度、動量、電場強度等都是矢量。這些量貫穿于物理學的許多分支，都是數學中的向量的現實原型，為數學中的向量提供了豐富的物理背景。

（二）向量是幾何的研究對象

物體的位置和形狀是幾何學的基本研究對象。向量可以表示物體的位置，也是一種幾何圖形（有向線段），因而它成為幾何學的基本研究對象。作為幾何學的研究對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面等幾何對象及它們的位置關系；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。

（三）向量是代數的研究對象

運算及其規律是代數學的基本研究對象。向量可以進行加、減、數乘、數量積（點乘）、向量積（叉乘）等多種運算，這些運算及其規律賦予向量集合特定的結構，使得向量具有一系列豐富的性質。向量的運算及其性質自然成為代數學的研究對象。

（四）向量是溝通代數、幾何的橋梁

向量作為有向線段，可用來確定位置。但要用向量刻畫幾何圖形的性質，解決幾何中的長度、角度等度量問題只有有向線段是不夠的，必須通過向量的代數運算才能實現。如，利用向量的數乘運算可以刻畫平行，利用向量的數量積運算可以刻畫垂直、角度、三角函數等。因此，向量集數、形于一身，是數形結合的最好體現，溝通了代數、幾何、三角。

（五）向量是重要的數學模型

用V表示向量的集合，則V對于向量的加法運算構成交換群。（V、R）對于V中向量的加法、實數域R中的實數與向量的乘法（數乘）運算構成線性空間。V中向量的數量積運算可以刻畫向量的長度，給V中的向量賦以長度后，（V、R）對于向量的加法、實數與向量的乘法運算構成線性賦范空間。群、線性空間、線性賦范空間都是重要的數學模型，也是抽象代數、線性代數、泛函分析的重要研究對象。因此，向量為理解抽象代數、線性代數、泛函分析提供了基本的數學模型。

二、向量的教育價值

（一）有助于學生體會數學與現實生活以及其他學科的聯系

向量具有豐富的現實背景和物理背景。向量是刻畫位置的重要數學工具，在諸如衛星定位、飛船設計、可運動機器人設計與操控中有著廣泛的應用。向量也是刻畫物理量──力、位移、速度、加速度等的數學工具，它體現了數學與物理的天然聯系。力、位移、速度、加速度這些物理量在實際生活中是隨處可見的。因此，向量的學習，有助于學生認識數學與實際生活以及物理等學科的緊密聯系，體會向量在刻畫和解決實際問題中的作用，從中感受數學的應用價值。

（二）有助于學生理解數學運算的意義及價值，發展運算能力

向量作為代數對象，可以進行運算。運算對象的不斷擴展是數學發展的一條重要線索。數運算，字母、多項式運算，向量運算，函數、映射、變換運算，矩陣運算等是數學中的基本運算。從數運算，字母、多項式運算到向量運算，是運算的一次飛躍。數運算、多項式運算都是A×A→A型的代數運算，數與多項式的運算屬于A×B→B型的代數運算，而向量運算除了前兩種類型的運算，還有數量積運算，它屬于A×A→B型的代數運算。向量的數量積運算可以刻畫向量的長度，從而使得我們可以通過向量的代數運算刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。向量運算更加清晰地展現了不同類型的代數運算的特征及其功能，同時，向量運算具有與數運算不同的一些運算律，這對于學生進一步理解其他數學運算、發展學生的運算能力具有基礎作用。向量的學習，有助于學生進一步體會數學運算的意義以及運算在建構數學系統中的作用，為理解函數、映射、變換運算，矩陣運算等奠定了基礎。

（三）有助于學生掌握處理幾何問題的代數方法，體會數形結合思想

向量既是代數的對象，又是幾何的對象。作為代數對象，向量可以進行運算。作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對象；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。運用向量刻畫幾何對象和幾何度量問題都是通過向量的代數運算來實現的。因此，向量提供了一種通過代數運算刻畫幾何對象及其位置關系以及幾何度量問題的工具。向量集數形于一身，是溝通代數與幾何的天然橋梁。向量的學習，有助于學生掌握處理幾何問題的代數方法，體會數形結合的思想。

（四）有助于增進學生對數學本質的理解

向量是重要的數學模型，它來源于力、位移、速度等現實原型。向量及其運算構成的數學系統又為群、線性空間、線性賦范空間等抽象數學系統提供了原型。向量的運算使得向量的集合具有特定的數學結構。如，引入向量的加法后，向量連同其加法運算一起構成群結構；引入數與向量的乘法后，向量連同加法、數乘運算一起構成線性空間結構；引入向量的數量積運算后，向量連同加法、數乘、數量積運算一起構成線性賦范空間結構。群、線性空間結構是典型的代數結構。向量的數量積運算，可以賦予向量以長度，從而產生一種拓撲結構。線性賦范空間是代數結構與拓撲結構交叉形成的一種數學結構。正是由于這種數學結構，才使得運用向量的運算刻畫幾何對象及其位置關系以及幾何度量問題成為可能。因此，向量的學習有助于學生認識數學概念形成過程中的多層次抽象性以及數學運算對于建構數學系統、刻畫數學對象的重要性，進而理解數學的本質。

三、向量教學應注意的問題

基于高中數學新課程中對向量的定位以及對向量教育價值的分析，向量教學中應注意以下幾個問題。

（一）突出物理背景

向量具有豐富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，這些物理量是學生在日常生活中能夠經常感受到的，這為理解向量的概念、向量的運算提供了直觀、現實的背景。在教學中，應注重突出向量的這些物理背景。例如，在引入向量的加法運算時，可以位移的合成為背景，這種方式比較直觀。假設一個人從A位移到B，再從B位移到C，則這兩次位移的結果就產生了從A到C的位移（如圖1），這個位移是兩次位移確定的總位移，把它看成前兩個位移的和是自然的。這就引入了向量的加法以及加法的三角形法則。有了三角形法則很容易引出平行四邊形法則。在引入數與向量的乘法運算時，可以位移的倍數或速度的倍數為背景。位移與速度的倍數仍然表示位移與速度，這樣可使學生對于數與向量的數乘運算的結果仍然是一個向量有直觀的認識。在引入向量的數量積運算時，可以力做的功為背景。一個物體受到力F的作用，如果在力的作用方向上發生一段位移S，我們就說這個力對物體做了功。如果力Ｆ的方向與位移S的方向相同，則功的大小就等于力Ｆ的大小與位移S大小的乘積，即│F‖S│。如果力F的方向與位移S的方向成θ角（如圖2），則與位移S方向相同的分力為F1＝Fcos θ，物體在力Ｆ1的方向上產生了位移S，因而對物體做的功為│F‖S│cos θ。總之，力所做的功是一個標量，它是由兩個向量──力和位移所決定的，這正是向量的數量積的意義。在引入向量的一些運算律時，也可以力做功為背景。當力擴大λ倍時，力所做的功也相應擴大λ倍，兩個力的合力所做的功等于這兩個力分別所做的功的和。由此可引出，向量的數乘運算與數量積運算滿足結合律：（λa）b＝λ（ab），向量的數量積運算對于向量的加法運算滿足分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。

圖 1 圖 2

（二）注重向量的代數性質及其幾何意義

向量的代數性質主要表現在向量的運算及其運算律方面。運算是貫穿于中學數學中的一條主線，學生最先學習的運算是數的運算，向量的運算與數運算既有聯系又有區別。例如，向量的加法運算與數的加法運算從代數運算的角度看是一致的，都是A×A→A型的運算。但是，向量的加法運算的法則是三角形或平行四邊形法則，這與數的加法運算的法則不同。向量的數乘運算不同于數的乘法運算，它擴展了運算的對象與運算的類型，屬于A×B→B型的運算。向量的數量積運算也不同于數的乘法運算，它是A×A→B型的運算。

在向量的教學中，應關注運算的意義和運算律。運算與運算律賦予向量集特定的結構，產生群、線性空間、線性賦范空間等不同的數學模型。例如，向量集Ｖ對于向量的加法（＋）運算滿足結合律、交換律、有零元（存在零向量）、有負元（每個向量都有與其方向相反、長度相等的向量），這是構成交換群的基本性質；V中向量的加法、實數域R中的實數與向量的數乘運算滿足數乘對向量加法的分配律（λ（a＋b）＝λa＋λb）、數乘對數加法的分配律（（λ＋γ）a＝λa＋γa）、數乘運算的結合律（（λγ）a＝λ（γa））等，這是構成線性空間的基本性質。在教學中，應引導學生在具體運算的基礎上總結這些運算律，認識這些運算律對于研究向量和運用向量解決問題以及建構數學體系的重要意義。

在向量的教學中，特別要重視向量的數乘運算、數量積運算與數的乘法運算的區別與聯系，應將向量的運算及運算律與數的運算及運算律進行比較，幫助學生理解向量運算的意義及其運算律，為進一步理解其他代數運算奠定基礎。例如，對于數運算來說，0是唯一的加法“零元”，1是唯一的乘法“單位元”。對于向量的加法運算來說，零向量0也是唯一的加法“零元”，對于任何向量a，0＋a＝a。但是向量的數乘運算與數量積運算則具有不同于數運算的運算律：對于任何向量a，0a＝0，1a＝a，0a＝0。雖然也有單位向量的概念，但單位向量不是數量積運算的單位元，即ea≠a，而且單位向量也不唯一。若把單位向量的起點放在同一點，則所有單位向量構成一個單位圓（球）；數的乘法運算滿足結合律、消去律，即對于任何數a、b、c，（ab）c＝a（bc），若ab＝ac，且a≠0，則b＝c。對于向量的數量積運算來說，（ab）c≠a（bc）。這是因為，ab，bc都是實數，（ab）c是與c方向相同或相反的向量，a（bc）是與a方向相同或相反的向量，而a與c不一定共線，即使共線，（ab）c與a（bc）也不一定相等。若向量a、b、c是三個互相垂直的非零向量，則ab＝ac＝0，且a≠0，但b≠c。因此，向量的數量積運算不滿足結合律、消去律。在教學中，應讓學生明確向量運算與數運算的這些區別，這樣才能對向量運算乃至代數運算有深入的認識。

在向量的教學中，還應注意揭示向量代數性質的幾何意義。向量代數性質的幾何意義對于運用向量刻畫幾何對象是非常重要的。例如，向量數乘運算λa的幾何意義是與a平行的向量，也可以表示一點和一個方向向量a所確定的直線，兩個不共線向量a與b的線性組合λa＋γb表示向量a與b所確定的平面。這就把向量的線性運算與直線、平面聯系起來了。aa的幾何意義就是向量a的長度的平方，這就把向量的數量積運算與向量的長度聯系起來，從而，也就把向量的數量積運算與兩點間的距離公式聯系起來了。ab＝0的幾何意義是向量a與b垂直，這就把向量的數量積運算與向量的位置關系聯系起來，從而，也就把向量的數量積運算與直線的位置關系以及點到直線的距離聯系起來了。設e是單位向量，則ae表示向量a在單位向量e上的投影的長度，這就把向量的數量積運算與向量夾角的三角函數聯系起來了。在教學中，應幫助學生將向量代數運算與它的幾何意義聯系起來，這樣才能運用向量代數性質更好地刻畫幾何對象，從而體會代數與幾何的聯系。

（三）關注向量在物理、數學、現代科學技術中的應用

物理中的矢量是向量的原型，向量及其運算是物理中矢量及其運算的抽象。因此，向量在物理中有廣泛應用是不言而喻的。在教學中，應引導學生有意識地運用向量及其運算的性質刻畫和解決物理學科中的問題。

向量在數學中有著廣泛的應用，向量及其代數運算可以刻畫幾何對象以及幾何度量問題，可以表示三角函數、證明三角函數的公式，可以表示重要的不等式。例如，向量的線性運算可以刻畫直線與平面以及平行、共面等關系，向量的數量積運算可以刻畫角度、長度、面積、體積等幾何度量問題以及相交、垂直等關系；運用向量的數量積也可以定義三角函數（設（e1，e2）是平面上的標準正交基，a是平面上的向量，a與e1的夾角為α，則可以定義三角函數如下：，運用向量的數量積也很容易推導出兩角差的余弦公式cos（α-β）＝cos αcos β＋sin αsin β；向量的數量積還蘊涵著一個重要的不等關系ab≤|a||b|，這個不等關系可用來證明數學中的許多不等式。向量在機器人設計與操控、衛星定位、飛船設計等現代技術中也有著廣泛的應用。因此，在向量的教學中，應注意體現向量在物理、數學、現代科學技術中的廣泛應用性。特別應注意不能把向量的應用只局限在解決幾何問題中。向量是解決幾何問題的一種有效工具，但高中數學新課程中設置向量內容有著更為廣泛的目的，而不僅僅是為了解決幾何問題、簡化幾何證明。

參考文獻：

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